Potentiaalin pistemäisen sähkövarauksen [[$Q$]] ympärillä voi laskea kaavasta [[$V=k\dfrac{Q}{r}$]], missä [[$r$]] on etäisyys pistemäisen varauksen keskipisteestä ja [[$k$]] on Coulombin vakio. Tarkastellaan pistemäistä sähkövarausta, jonka suuruus on 56 nC.

1. Piste A on 5,1 cm:n ja piste B 13,9 cm:n päässä sähkövarauksen keskipisteestä. Laske pisteiden A ja B välinen jännite.
2. Protoni tuodaan pisteeseen A. Kuvaile, mitä sille tapahtuu.
3. Laske protonin nopeus, kun se on liikkunut 8,8 cm.

Ratkaisu

a. Lasketaan pisteen A ja pisteen B potentiaalit.

[[$ \begin{align}V_A&=k\cdot \dfrac{Q}{r_A}=8,98755\cdot 10^9 \frac{\text{Nm}^2}{\text{C}^2} \cdot \dfrac{56 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{0,051 \text{ m}}=9868,68 \ldots \text{ V} \\ \, \\ V_B&=k\cdot \dfrac{Q}{r_B}=8,98755\cdot 10^9\frac{\text{Nm}^2}{\text{C}^2} \cdot \dfrac{56 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{0,139 \text{ m}} =3620,88 \ldots \text{ V} \\\end{align} $]]​

Jännite pisteiden A ja B välillä on

[[$ U=V_A-V_B=9868,68 \text{ V}-3620,88 \text{ V}=6247,8 \text{ V} \approx 6,2 \text{ kV} $]]​​

b. Protoniin kohdistuva sähköinen voima pyrkii siirtämään sitä kohti alempaa potentiaalienergian tilaa. Protonin sähköinen potentiaalienergia muuttuu sen liike-energiaksi ja protoni on kiihtyvässä liikkeessä poispäin pistemäisestä varauksesta sähköisen voiman suuntaan.

c. Sähkökentän tekemä työ eli sähköisen potentiaalienergian muutos muuttuu protonin liike-energiaksi.
Protoniin kohdistuvan sähköisen voiman suunta on poispäin pistemäisestä varauksesta ja protoni päätyy kuljettuaan 8,8 cm pisteestä A pisteen B etäisyydelle pistemäisestä sähkövarauksesta.

Potentiaalienergian muutos on

​[[$ \Delta E_{SP}=QU_{AB}=1,60217\cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 6247,8 \text{ V} = 1,0010\cdot 10^{-15} \text{ J} $]]​

Sähkökentän tekemä työ on yhtä suuri kuin protonin liike-energian muutos. Protoni on aluksi levossa.

​[[$ \begin{align*}\Delta E_{SP}&=\Delta E_k \\ \, \\ \Delta E_{SP}&=E_{kl}-E_{ka} \\\, \\ \Delta E_{SP}&=\dfrac{1}{2}mv_l^2-0 \\\, \\ 2\Delta E_{SP}&=mv_l^2 \\\, \\ v_l&=\sqrt{\dfrac{2 \Delta E_{SP}}{m}} \\\, \\ v_l&=\sqrt{\dfrac{2 \cdot 1,0010 \cdot 10^{-15} \text{ J}}{1,672 6 \cdot10^{−27} \text{ kg} }} \\\, \\ v_l&=1109068 \ldots \text{ m/s} \approx 1,1 \text{ Mm/s} \end{align*} $]]​