2. VOIMA JA PAINE Soveltavat tehtävät (251–259)

251. Rekka-auto kevlar-langan varassa

Suurin paine, jonka kevlar-kuitu vedettäessä kestää, on 3 620 MPa. Kuinka paksu lanka kevlarista on tehtävä, jotta sen varaan voidaan ripustaa rekka-auto, jonka massa on 60 tonnia (täysperävaunullisen yhdistelmän suurin sallittu massa)?

Ratkaisu

Pinta-alaan A kohdistuva voima F aiheuttaa paineen [[$p=\frac{F}{A}$]]. Nyt voima on 60 tonnin paino: [[$G=mg$]]. Voidaan ratkaista tarvittava pinta-ala:

[[$\begin{align*} p&=\frac{F}{A}&||\cdot A \\ pA&=F &||:p \\ A&=\frac{F}{p}=\frac{60000\text{ kg}\cdot 9,81\text{m}/\text{s}^2}{3620000000\text{ Pa}}=0,0001625\dots\text{m}^2\approx 0,000163\text{ m}^2 & \\ \end{align*}$]]

Tästä voidaan ratkaista paksuus d, sillä langan poikkileikkaus on oletettavasti ympyrä:

[[$\begin{align*}A&=\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2&||:\pi \\ \frac{A}{\pi}&=\frac{d^2}{4} & || \cdot 4 \\ d^2&=\frac{4A}{\pi} &|| \sqrt{} \\ d&=\pm \sqrt{\frac{4A}{\pi}}=\sqrt{\frac{4*0,000163\text{ m}^2}{\pi}}=0,0144\dots\text{m}\approx 14\text{mm} & \\ \end{align*}$]]

252. Ruiskut hydraulisena nosturina

Kaksi lääkeruiskua on täytetty vedellä ja yhdistetty tiiviillä letkulla. Suuremman ruiskun halkaisija on 31 mm ja pienemmän 14 mm.

Molempien ruiskujen mäntiä puristetaan yhtä aikaa niin, että ne pysyvät paikallaan. Kumpaan mäntään tulee kohdistaa suurempi voima?
Pienemmän ruiskun mäntään kohdistettava voima on 35 N. Kuinka suurella voimalla tällöin tulee puristaa suurempaa, jotta se pysyy paikallaan?

Ratkaisu

Lääkeruiskuja yhdistävässä letkussa vallitsee vakiopaine. Paineen [[$p$]] määritelmän mukaan [[$p=\frac{F}{A}$]], missä [[$F$]] on voima ja [[$A$]] on pinta-ala. Kun männän pinta-ala suurenee tarvitaan saman paineen tuottamiseksi isompi voima, koska voiman ja pinta-alan suhde on vakio. Isomman männän pintaan kohdistetaan suurempi voima.

Paineen määritelmästä seuraa
[[$p=\dfrac{F_1}{A_1}=\dfrac{F_2}{A_2}$]]

[[$F_1=\dfrac{F_2A_1}{A_2}$]]

Männät ovat ympyrän muotoisia
[[$A=\pi r^2=\pi \left(\dfrac{d}{2}\right)^2$]]

[[$F_1=\dfrac{F_2\cdot \pi \left(\dfrac{d_1}{2}\right)^2}{\pi \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}$]]

[[$F_1=\dfrac{F_2d_1^2}{d_2^2}$]]

[[$F_2=35 \ \mathrm{N}$]]
[[$d_1=31 \ \mathrm{mm}$]]
[[$d_2=14 \ \mathrm{mm}$]]

Huom. yhtälössä pinta-alan yksiköt kumoavat toisensa, joten pinta-alaa laskettaessa pituutta ei ole välttämätöntä ilmoittaa yksikössä metri. Tällainen tilanne esiintyy, kun yhtälö muodostuu kahdesta identtisestä lausekkeesta, jotka tässä tilanteessa ovat [[$p=\frac{F}{A}$]].

[[$F_1=171{,}607 \ \mathrm{N}\approx 170 \ \mathrm{N}$]]

253. Hydraulileikkuri

Hinaajaan asennetaan kuvan tapainen hydraulinen leikkuri, jotta hinausvaijeri voidaan hätätilassa leikata nopeasti ja turvallisesti poikki. Vaijerin katkaiseminen vaatii, että terää painetaan vaijeria vasten 34 kN voimalla. Terää painaa alaspäin hydraulileikkurin sisällä vallitseva paine, joka kohdistuu poikkileikkaukseltaan ympyränmuotoiseen sylinteriin (säde 5,5 cm). Käytössä on kuitenkin vain kompressori, joka tuottaa maksimissaan paineen 16 atm.

Osoita laskemalla, että kompressorin tuottama paine ei riitä vaijerin katkaisemiseen.
Käytössäsi on erilaisia sylintereitä ja mäntiä. Suunnittele laite, jolla kompressorin tuottama paine saadaan nostettua riittävän suureksi vaijerin katkaisemista varten.

Ratkaisu

Paineen määritelmä
[[$p=\dfrac{F}{A}$]]

[[$F=pA$]]

Voima kohdistuu ympyrän muotoiselle alalle
[[$A=\pi r^2$]]

[[$F=p\cdot \pi r^2$]]

[[$p=16\cdot 1{,}01325\cdot10^5 \ \mathrm{Pa}$]]
[[$r=0{,}055 \ \mathrm{m}$]]

[[$F=15{,}4068\cdot 10^3 \ \mathrm{N}\approx 15 \ \mathrm{kN}$]]

Kun paine on 16 ilmankehän painetta, ei leikkurilla voida tuottaa 34 kN suuruista voimaa.

Voimaa voidaan lisätä suurentamalla pinta-alaa, johon paine kohdistuu. Lasketaan pinta-ala, johon kohdistunut 16 ilmakehän paine tuottaa 34 kN voiman.

Pinta-ala paineen määritelmästä
[[$A=\dfrac{F}{p}$]]

[[$F=34\cdot 10^3 \ \mathrm{N}$]]
[[$p=16\cdot 1{,}01325 \ \mathrm{Pa}$]]

[[$A=2{,}0972\cdot 10^{-2} \ \mathrm{m^2}\approx 210 \ \mathrm{cm^2}$]]

Määritetään sylinterin pohjan säde, jos sylinteri on ympyrän muotoinen.
[[$A=\pi r^2$]]

[[$r=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}$]]

[[$A=209{,}72 \ \mathrm{cm^2}$]]

[[$r=8{,}1705 \ \mathrm{cm}\approx 8{,}2 \ \mathrm{cm}$]]

Sylinterin säteen on oltava vähintään 8,2 cm, jotta terään voidaan tuottaa 34 kN suuruinen voima.

254. Ilmanpaine matkustajalentokoneessa

Pitkän matkan matkustajalentokoneen lentäessä matkakorkeudellaan 10 km paine matkustamossa on 79 kPa.

Selvitä, kuinka suuri on ilmanpaine koneen ulkopuolella tällä korkeudella.
Kuinka suuri paine-erosta aiheutuva voima koneen ikkunaan kohdistuu? Ikkuna on suunnilleen suorakulmion muotoinen, 270 mm kertaa 360 mm. Kommentoi voiman suuruutta.
Miksi matkustamon painetta ei ole laskettu yhtä paljon kuin paine koneen ulkopuolella on laskenut 10 km:n korkeuteen noustessa?
Miksi matkustamon painetta on kuitenkin laskettu jonkin verran?

Ratkaisu

a. MAOLin mukaan ilmanpaine 10 km korkeudella on 260 mbar = 26 kPa, eli huomattavasti pienempi kuin matkustamossa.

b. Ikkunaa painaa ulkopuolelta ulkona olevan ilmanpaineen aiheuttama voima ja sisältä matkustamon paineesta aiheutuva voima. Paine-erosta aiheutuva kokonaisvoima on

[[$\begin{align*}F&=p_{\text{sisä}}A-p_{\text{ulko}}A=\Delta pA \\ &=\left(79000\text{ Pa}-26000\text{ Pa}\right)\cdot 0,27\text{ m}\cdot 0,36\text{ m}=5151,6\text{ N}\approx 5,1\text{ kN} \\ \end{align*}$]]

Voidaan laskea, minkä suuruisen massan painoa [[$G=mg$]] tämä vastaa:
[[$$m=\frac{G}{g}=\frac{5151,6\text{ N}}{9,81\text{ m}/\text{s}^2}=525,1\dots\text{kg}\approx 530\text{ kg}$$]]
Jos ikkuna olisi vaakatasossa, sen tulisi kestää päälle asetettu 530 kg:n kuorma.

c. Alhaisessa ilmanpaineessa on huomattavan työlästä hankkia riittävästi happea soluille. Ilma on niin harvaa, että sitä ja sen sisältämää happea ei tule riittävästi keuhkoihin hengitettäessä.

d. Jos matkustamossa olisi normaalipaine, ikkunoihin ja koneen runkoon yleensä kohdistuisi vielä b-kohdassa laskettua suurempi voima.

255. Pisin mahdollinen mehupilli

Mihin perustuu juoman imeminen pillillä suuhun?
Laske suurin pillin korkeus, jolla imeminen olisi periaatteessa mahdollista.

Ratkaisu

Juominen pillillä perustuu paineen pienenemiseen. Pillistä imetään ilmaa pois, jolloin pilliin muodostuu alipaine ympäröivään ilmanpaineeseen nähden. Paine-eroista syntyvä voima on suurempi kuin juomaan kohdistuva paino ja voima työntää juomaa pilliä pitkin ylös.

Suurin voima voidaan tuottaa, kun pilliin saadaan täydellinen tyhjiö. Tällöin paine-ero on ilmanpaineen suuruinen. Jotta pillillä saadaan imettyä neste ylös, on nesteen painosta aiheutuvan paineen oltava pienempi kuin paine-erosta johtuva paine. Nesteen painosta johtuva paine on hydrostaattinen paine.

[[$\Delta p>\rho gh$]]

[[$h<\dfrac{\Delta p}{\rho g}$]]

Nesteen tiheys on veden tiheys.

[[$\Delta p = 1{,}01325 \cdot 10^5 \ \mathrm{Pa}$]]
[[$\rho = 1000 \ \mathrm{kg/m^3}$]]
[[$g=9{,}81 \ \mathrm{m/s^2}$]]

[[$h<10{,}329 \ \mathrm{m}\approx 10 \ \mathrm{m}$]]

Todellisuudessa edes lähelle täydellistä tyhjiötä ei pystytä mudostamaan ja enimmäispillien pituudet ovat muutaman metrin luokkaa.

256. Paine tuntemattomassa nesteessä

Painetta mitattiin eräässä nesteessä eri syvyyksillä. Selvitä, mitä neste olisi saattanut olla.

Aineisto
Taulukko: Paine_tuntematon_neste.ods (LibreCalc)
Taulukko: Paine_tuntematon_neste.cmbl (Logger Pro)
Taulukko: Paine_tuntematon_neste.cap (Capstone)

Ratkaisu

Kun aineiston mittaustulokset esitetään (syvyys, paine) -koordinaatistossa, saadaan seuraava kuvaaja:

Paine p tietyllä syvyydellä h on [[$p=p_0+\rho gh$]], missä [[$\rho$]] on nesteen tiheys ja g on putoamiskiihtyvyys. Vertaamalla suoran yhtälöön [[$y=kx+b$]] nähdään, että
[[$$k=\rho g$$]]
Aineistoon tehdyn sovituksen mukaan [[$k=1,3283\text{ kPa}/\text{cm}=132830\text{ Pa}/\text{m}$]]. Voidaan laskea tiheys:
[[$$\rho=\frac{k}{g}=\frac{132830\text{ Pa}/\text{m}}{9,81\text{ m}/\text{s}^2}=13540,2\dots\text{kg}/\text{m}^3\approx13500\text{kg}/\text{m}^3$$]]
MAOLiin listatuista nesteistä lähimmäksi saatua tiheyttä pääsee elohopea, [[$\rho=13 540\text{ kg}/\text{m}^3$]].

257. Reikä vesiastian pohjassa

Miksi vesi pysyy astiassa, joka on umpinainen, lukuun ottamatta pohjassa olevaa pientä reikää kannen ollessa kiinni, mutta pääsee valumaan astiasta, kun kansi avataan? Ohessa on tapahtuma kuvattuna videolle.

Ratkaisu

Kun astia on täytetty kokonaan vedellä ja kansi on kiinni, vettä painaa rei'ästä alaspäin hydrostaattinen paine ([[$\rho gh$]]) ja ylöspäin ulkoinen ilmanpaine ([[$p_0$]]). Tehtävässä 455 on laskettu, että jos vettä on alle 10 metriä, ulkoinen ilmanpaine on hydrostaattista painetta suurempi. Jotta vesi voisi tulla ulos rei'ästä, astiaan olisi päästävä samanaikaisesti ilmaa sisälle. Jos reikä on riittävän pieni, veden pintajännitys estää veden pintaa rikkoutumasta, eikä vettä pääse ulos.

258. Paine Europa-kuun meren pohjalla (yhtä taulukkoarvoa muutettu)

On päätelty, että Jupiterin Europa-kuun jäisen pinnan alla on nestemäinen kerros eli meri. Selvitä tarvittavat tiedot ja laske arvio paineelle tämän meren pohjalla. Vertaa maapallon valtamerten pohjalla vallitsevaan paineeseen.


Halkaisija	3 121,6 km
Pinta-ala	31 000 000 km²
Massa	4 · 10²² kg
Tiheys	3,01 g/cm³
Vesikerroksen paksuus	75–85 km
Putoamiskiihtyvyys pinnalla	1,314 m/s²
Jääkerroksen paksuus	15–25 km
Pyörähdysaika	3 d 13 h 15 min
Pinnan keskilämpötila	103 K
Kaasukehän paine	10^–6 Pa

Ratkaisu

On arvioitu, että Europa-kuulla on kiinteän ytimen ympärillä noin 120 kilometrin paksuinen vesikerros, joka on ulkoa jäässä. Hydrostaattisen paineen laskemiseksi on tiedettävä vielä putoamiskiihtyvyys kuun pinnalla, se on Wikipedian mukaan 1,314 m/s².

Paineeksi saadaan
[[$p=\rho gh=1000\text{ kg}/\text{m}^3\cdot 1,314\text{ m}/\text{s}^2\cdot 120000\text{ m}=157 680 000\text{ Pa}\approx 160\text{ MPa}$]].

Maan valtamerten syvin kohta on Mariaanien hauta, syvyys Wikipedian mukaan 10911,4 m. Paineeksi saadaan, ilmanpaine mukaanlukien,
[[$\begin{align*}p&=p_0+\rho gh \\ &=101325\text{ Pa}+1000\text{ kg}/\text{m}^3\cdot 9,81\text{ m}/\text{s}^2\cdot 10911,4\text{ m}=107142159\text{ Pa}\approx 110\text{ MPa}\end{align*}$]]

Europa-kuun vesikerroksen pohjalla oleva paine on noin 50 MPa suurempi, kuin Mariaanien haudan pohjalla.

259. Elohopeamillimetri paineen yksikkönä

Paineen yksikkönä käytetään pascaleiden lisäksi muun muassa elohopeamillimetrejä (mmHg). Tämän yksikön taustalla on ilmanpainetta elohopealla täytetyn putken avulla mittaava painemittari. Kuvan U-mallinen putki on vasemmasta haarastaan suljettu ja oikeasta auki. Elohopea näkyy putkessa harmaana, läpinäkymättömänä nesteenä.

Selvitä, miten kyseinen painemittari toimii.
Laske, paljonko täytyy siten olla yksi elohopeamillimetri pascaleina. Tarkista esimerkiksi taulukkokirjasta.

Ratkaisu

a. Elohopean pinta on avoimessa putkessa jollain tietyllä korkeudella, kuvassa numeron 5 kohdalla. U:n muotoisessa putkessa vallitsee kummassakin haarassa sama paine tällä korkeudella. Suljetussa haarassa paine aiheutuu siinä olevan elohopean hydrostaattisesta paineesta ja avoimessa ulkoisesta paineesta. Saadaan yhtälö
[[$$p_0=\rho gh$$]]
Tästä saadaan elohopean korkeudeksi suljetussa putkessa [[$h=\frac{p_0}{\rho g}$]]. Jos suljettu haara on tätä korkeampi, sen yläosaan jää tyhjiö ja korkeudesta voidaan määrittää ulkoinen paine. Jos suljettu haara taas on tätä lyhyempi, se on ylös asti täynnä elohopeaa, eikä mittari mittaa niin suurta ulkoista painetta.

b. Yhden millimetrin korkuinen elohopeapatsas vastaa painetta
[[$$p=\rho gh=13540\text{ kg}/\text{m}^3\cdot 9,81\text{ m}/\text{s}^2\cdot 0,001\text{ m}=132,8274\text{Pa}\approx 133\text{ Pa}$$]]
Taulukkokirjan arvo on 133,322 Pa. Ero johtuu siitä, että laskussa käytettiin MAOLista löytyvää arvoa elohopean tiheydelle 20 asteessa, mutta elohopeamillimetri on määritelty nolla-asteisen elohopean tiheyttä käyttäen.