Hinaajaan asennetaan kuvan tapainen hydraulinen leikkuri, jotta hinausvaijeri voidaan hätätilassa leikata nopeasti ja turvallisesti poikki. Vaijerin katkaiseminen vaatii, että terää painetaan vaijeria vasten 34 kN voimalla. Terää painaa alaspäin hydraulileikkurin sisällä vallitseva paine, joka kohdistuu poikkileikkaukseltaan ympyränmuotoiseen sylinteriin (säde 5,5 cm). Käytössä on kuitenkin vain kompressori, joka tuottaa maksimissaan paineen 16 atm.

1. Osoita laskemalla, että kompressorin tuottama paine ei riitä vaijerin katkaisemiseen.
2. Käytössäsi on erilaisia sylintereitä ja mäntiä. Suunnittele laite, jolla kompressorin tuottama paine saadaan nostettua riittävän suureksi vaijerin katkaisemista varten.

Ratkaisu

a.

Paineen määritelmä
[[$p=\dfrac{F}{A}$]]

[[$F=pA$]]

Voima kohdistuu ympyrän muotoiselle alalle
[[$A=\pi r^2$]]

[[$F=p\cdot \pi r^2$]]

[[$p=16\cdot 1{,}01325\cdot10^5 \ \mathrm{Pa}$]]
[[$r=0{,}055 \ \mathrm{m}$]]

[[$F=15{,}4068\cdot 10^3 \ \mathrm{N}\approx 15 \ \mathrm{kN}$]]

Kun paine on 16 ilmankehän painetta, ei leikkurilla voida tuottaa 34 kN suuruista voimaa.

b.

Voimaa voidaan lisätä suurentamalla pinta-alaa, johon paine kohdistuu. Lasketaan pinta-ala, johon kohdistunut 16 ilmakehän paine tuottaa 34 kN voiman.

Pinta-ala paineen määritelmästä
[[$A=\dfrac{F}{p}$]]

[[$F=34\cdot 10^3 \ \mathrm{N}$]]
[[$p=16\cdot 1{,}01325 \ \mathrm{Pa}$]]

[[$A=2{,}0972\cdot 10^{-2} \ \mathrm{m^2}\approx 210 \ \mathrm{cm^2}$]]

Määritetään sylinterin pohjan säde, jos sylinteri on ympyrän muotoinen.
[[$A=\pi r^2$]]

[[$r=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}$]]

[[$A=209{,}72 \ \mathrm{cm^2}$]]

[[$r=8{,}1705 \ \mathrm{cm}\approx 8{,}2 \ \mathrm{cm}$]]

Sylinterin säteen on oltava vähintään 8,2 cm, jotta terään voidaan tuottaa 34 kN suuruinen voima.