2.3 Potentiaali ja jännite
Potentiaalienergia homogeenisessa sähkökentässä
Resonanssi 4 -oppikirjassa on käsitelty gravitaation potentiaalienergiaa. Kun kappale liikkuu painolle vastakkaiseen suuntaan, sen potentiaalienergia kasvaa. Vastaavasti varatulla hiukkasella on sähkökentässä sähköistä potentiaalienergiaa. Se voidaan määritellä täsmällisemmin oheisen kuvan mukaisessa homogeenisessa sähkökentässä.
Sähköinen voima pyrkii siirtämään positiivisesti varattua hiukkasta kentän suunnassa, kohti negatiivisesti varattua levyä. Negatiivinen levy on luontevaa ajatella sähköisen potentiaalienergian nollatasoksi. Kun varausta [[$Q$]] siirtyy poispäin levystä, se liikkuu sähköistä voimaa vastaan, jonka suuruus on [[$F=QE$]]. Kun hiukkasta siirretään matka [[$d$]] voimaa vastaan, sähköinen voima tekee työn
[[$\qquad W=-F\cdot d=-QEd$]].
Työn verran energiaa, [[$QEd$]], varastoituu varauksen sähköiseksi potentiaalienergiaksi. Saatua kaavaa voi verrata painon potentiaalienergian muutoksen kaavaan [[$\Delta E_{\text{p}}=mgh$]]. Kaavoissa [[$Q$]] sekä [[$m$]] kuvaavat kappaletta, jonka potentiaalienergian muutosta tarkastellaan, [[$E$]] sekä [[$g$]] kuvaavat kenttää ja [[$d$]] sekä [[$h$]] siirtymää kentässä. Alla olevassa kaavakuvassa ilmenee painon ja sähkökentän potentiaalienergioiden samankaltaisuus.
Sähköiselle potentiaalienergialle voidaan valita nollataso tilanteeseen sopivalla tavalla painon potentiaalienergian tavoin. Nollataso määräytyy täsmällisesti, jos jokin kentän kohta on maadoitettu. Tämä taso vastaa sähköisesti neutraalia kohtaa sähkökentässä. On syytä huomata, että negatiivisesti varattuun hiukkaseen kohdistuu vastakkaissuuntainen voima kuin positiivisesti varattuun. Tämän vuoksi niiden potentiaalienergian muutokset ovat vastakkaismerkkisiä siirryttäessä kentässä.
Potentiaalienergia homogeenisessa sähkökentässä
Sähköisesti varatun [[$Q$]] hiukkasen potentiaalienergia kasvaa, kun se siirtyy sähköiselle voimalle vastakkaiseen suuntaan. Sähköisen potentiaalienergian [[$E_{\text{sp}}$]] muutos homogeenisessa kentässä on
[[$\qquad \Delta E_{\text{sp}}=QEd$]],
missä [[$E$]] on sähkökentän voimakkuus ja [[$d$]] siirrytty matka.
Jännite ja potentiaali homogeenisessa sähkökentässä
Varatun hiukkasen potentiaalienergian suuruus homogeenisessa sähkökentässä riippuu sähkövarauksen suuruudesta. Jos kahden varauksen suuruudet ovat [[$Q$]] ja [[$2Q$]] ja ne ovat samassa paikassa homogeenisessa sähkökentässä, suuremmalla varauksella on enemmän sähköistä potentiaalienergiaa. Tämä vastaa tilannetta, jossa maanpinnalta nostetaan pöydälle kaksi eri massaista kappaletta. Suurempimassaisella kappaleella on enemmän painon potentiaalienergiaa kuin pienempimassaisella kappaleella.
Varatun hiukkasen sähköinen potentiaalienergia homogeenisessa kentässä on kaavan [[$E_{\text{sp}}=QEd$]] mukainen. Potentiaalienergian määrä yhtä varausyksikköä kohden saadaan jakamalla potentiaalienergian lauseke varauksella [[$Q$]]. Huomataan, että tämä suure on sama kaikille hiukkasille. Kyseessä on homogeenisen sähkökentän potentiaali [[$V$]]:
[[$\qquad V=\dfrac{E_{\text{sp}}}{Q}=Ed$]]
Potentiaali on sähkökentän ominaisuus, eikä se riipu kentässä olevasta varauksesta. Sen yksikkö on voltti (V). Homogeenisessa sähkökentässä potentiaali on nolla potentiaalienergian nollatasolla ja kasvaa, kun siirrytään siltä sähkökentälle vastakkaiseen suuntaan. Potentiaalin suuruutta voidaan esittää graafisesti tasapotentiaaliviivoilla. Ne ovat sähkökentän kenttäviivoille kohtisuoria viivoja, joiden jokaisessa pisteessä potentiaali on yhtä suuri.
Jos tarkastellaan hiukkasen liikettä sähkökentässä, olennaisinta on usein sen potentiaalienergian muutos, eikä niinkään energian suuruus. Vastaavasti potentiaalin muutos kahden pisteen (A ja B) välillä on tärkeä suure. Sitä kutsutaan pisteiden väliseksi jännitteeksi ja merkitään [[$U_{\text{AB}}$]].
[[$\qquad U_{\text{AB}}=\Delta V=V_{\text{B}}-V_{\text{A}}$]]
Tarkastellaan, miten tämä liittyy sähkökentän voimakkuuteen [[$E$]]. Merkitään [[$d_\text{A}$]] ja [[$d_\text{B}$]] pisteiden A ja B etäisyyttä potentiaalin nollatasosta. Hyödyntämällä aiempaa potentiaalin lauseketta [[$V=Ed$]] saadaan lauseke jännitteelle.
[[$\qquad U=\Delta V=V_\text{B}-V_\text{A}=Ed_\text{B}-Ed_\text{A}=E\left(d_\text{B}-d_\text{A}\right)=Ed$]].
Tämän perusteella voidaan edellä käsitelty sähköisen potentiaalienergian muutoksen lauseke ilmaista muodossa
[[$\qquad \Delta E_{\text{sp}}=QEd=QU$]].
Potentiaali ja jännite
Sähkökentän potentiaali on pelkästään sähkökentän ominaisuus ja ilmaisee sähköisen potentiaalienergian [[$E_{\text{sp}}$]] varausyksikköä kohden. Potentiaalin yksikkö on voltti (V).
[[$\qquad V=\dfrac{E_{\text{sp}}}{Q}$]]
Jännite [[$U$]] on kahden pisteen välinen potentiaaliero. Homogeenisessa sähkökentässä jännite on sähkökentän voimakkuuden [[$E$]] ja pisteiden välisen etäisyyden [[$d$]] tulo.
[[$\qquad U=Ed$]]
Varatun hiukkasen sähköisen potentiaalienergian muutos kahden pisteen välillä on varauksen ja pisteiden välisen jännitteen tulo.
[[$\qquad \Delta E_{\text{sp}}=QU$]]
Usein tarkastellaan jännitteen itseisarvoa, jolloin potentiaalienergian muutoksen suunta päätellään erikseen.
Varatun hiukkasen liike jännitteen yli
Sähköiseksi potentiaalienergiaksi varastoitunut energia vapautuu, jos hiukkasen annetaan liikkua sähkökentän kuljettamana ("pudoten") kohti matalampaa potentiaalienergiaa. Energian täytyy säilyä, ja sähköinen potentiaalienergia muuttuu liike-energiaksi. Jännite pyrkii siis saamaan hiukkaset liikkeelle, luomaan sähkövirtaa.
Varatun hiukkasen liikettä voidaan mallintaa energian säilymislain mukaan. Hiukkasella on liike-energiaa sekä sijainnista riippuva määrä sähköistä potentiaalienergiaa. Energian säilymistä liikkeen alku- ja lopputilanteen välillä kuvataan seuraavalla yhtälöllä.
[[$\qquad E_{\text{k1}}+E_{\text{sp1}}=E_{\text{k2}}+E_{\text{sp2}}$]]
Sähköisen potentiaalienergian muutos voidaan ilmaista alku- ja loppusijainnin välisen jännitteen [[$U$]] avulla.
[[$\qquad \begin {align*}E_{\text{k1}}+E_{\text{sp1}}-E_{\text{sp2}}&=E_{\text{k2}}\\E_{\text{k1}}+\Delta E_{\text{sp}}&=E_{\text{k2}}\\E_{\text{k1}}+QU&=E_{\text{k2}} \\QU&=\Delta E_{\text{k}} \end{align*}$]]
Ainoastaan jännitteellä eli potentiaalierolla on merkitystä hiukkasten siirtymisessä vapautuvaan tai vaadittavaan energiaan, ei potentiaalin arvoilla. Akkujen ja paristojen voimakkuutta ilmaistaan jännitteenä. Pelkkä jännite ei määritä syntyvää sähkövirtaa, vaan jännite mahdollistaa tai antaa tietyt rajoitteet syntyvälle sähkövirralle. Luvuissa 3, 4 ja 5 tarkastellaan virtapiirejä. Tällöin perehdytään tarkemmin siihen, miten syntyvä sähkövirta määräytyy jännitteestä ja virtapiirin ominaisuuksista.
Energiaperiaate sähkökentässä
Soveltamalla energiaperiaatetta sähkövaraukselliseen hiukkaseen [[$Q$]] sähkökentässä [[$E$]] saadaan lauseke
[[$\qquad QU=\Delta E_\text{k}$]].
kun hiukkaseen ei vaikuta muita voimia kuin sähkökentän siihen kohdistama voima.
Sähköinen potentiaalienergia ja potentiaali yleisessä sähkökentässä
Edellä määriteltiin sähköinen potentiaalienergia, potentiaali ja jännite homogeenisessa sähkökentässä. Nämä suureet liittyvät mihin tahansa sähkökenttään, joskin niiden matemaattiset kaavat saattavat olla näissä mutkikkaampia.
Positiivisesti sähkövaratulla hiukkasella on suuri potentiaalienergia, kun se on lähellä toista positiivista varausta. Potentiaali eli potentiaalienergian määrä varausyksikköä kohden on siis korkea positiivisen varauksen lähellä. Negatiivisen varauksen läheisyydessä on päinvastoin. Negatiivisesti sähkövaratun hiukkasen potentiaalienergia muuttuu vastakkaisesti kuin positiivisen, mutta kentän potentiaali on riippumaton kentässä olevan hiukkasen varauksesta.
Vaikka potentiaalienergiaa ja potentiaalia voi olla monimutkaista määrittää, hiukkasen sähköisen potentiaalienergian muutos on aina kaavan [[$ \Delta E_{\text{SP}}=QU$]] mukainen. Jos potentiaalit eri pisteissä tai pisteiden välinen jännite on tiedossa, muulla ei ole merkitystä, ja hiukkasen liike-energian muutoksen voi laskea, kun se siirtyy pisteestä toiseen.
Mitä tahansa sähkökenttää voidaan havainnollistaa tasapotentiaalikäyrillä. Niitä pitkin liikuttaessa sähköinen potentiaalienergia ei muutu, eli potentiaali on vakio. Tasapotentiaalikäyrät ovat aina kohtisuorassa kenttäviivoja vastaan. Tasapotentiaalikäyriä voi verrata maastokartan korkeuskäyriin, joita pitkin kuljettaessa painon potentiaalienergia ei muutu. Alla olevissa kuvissa on esitetty kenttäviiva- sekä tasapotentiaali käyräesityksenä yhden sekä kahden pistemäisen varauksen kentät.
Pysähdy pohtimaan
Esimerkkejä
Esimerkki 1
Homogeenisessa sähkökentässä, jonka voimakkuus on 850 N/C, on hiukkanen, jonka sähkövaraus on 2,0 nC.
- Hiukkanen siirtyy 12 cm sähkökentän suuntaan. Väheneekö vai kasvaako hiukkasen sähköinen potentiaalienergia ja kuinka paljon?
- Toisen hiukkasen sähkövaraus on 3,5 nC. Kuinka pitkä matka sen tulee siirtyä, jotta sen potentiaalienergian muutos on yhtä suuri kuin ensimmäisen hiukkasen?
Esimerkki 2
Kahden metallilevyn välillä pidetään 18 V:n jännite. Levyt ovat 32 cm:n etäisyydellä toisistaan.
- Laske levyjen välisessä tilassa olevan sähkökentän voimakkuus.
- Negatiivisesti varatun levyn pinnalta pääsee irtoamaan elektroni. Mitä sille tapahtuu? Laske elektronin nopeus tapahtuman päätteeksi.
- Levyt siirretään 88 cm:n etäisyydelle toisistaan. Kuinka suuria ovat levyjen välinen jännite, elektronin potentiaalienergia ja sähkökentän voimakkuus?
Esimerkki 3
Oheisessa kuvassa on esitettynä kolmen suuren varauksen muodostaman sähkökentän tasapotentiaalikäyriä. Kuvaan on lisäksi merkitty neljä pistettä: A, B, C ja D.
- Määritä jännite pisteestä A pisteeseen B ([[$U_{AB}$]]) sekä [[$U_{CD}$]].
- Pieni sähkövaraus [[$Q=2{,}3\text{ nC}$]] siirretään pisteestä A pisteeseen B. Määritä varauksen sähköisen potentiaalienergian muutos. Onko muutos positiivinen vai negatiivinen, ja mitä se kertoo?
- Pieni sähkövaraus [[$Q=-6{,}1\text{ nC}$]] siirretään pisteestä B pisteeseen C. Onko tehtävä työtä, vai vapautuuko energiaa? Kuinka paljon?