Pakolliset opinnot

MAA2 Funktiot ja yhtälöt 1, 4 op.

Opintojakso koostuu moduuleista

  • MAA2 Funktiot ja yhtälöt 1, 3 op.
  • MAA17 Ohjelmistotaidot matematiikan opiskelussa 1, 1 op.

Opintojaksoon kuuluvat moduulit arvioidaan

  • MAA2 numeroarvioinnilla
  • MAA17 suoritusmerkinnällä

Yleiset tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija
  • tutustuu ilmiöiden matemaattiseen mallintamiseen polynomi-, rationaali- ja juurifunktioiden avulla, tuntee polynomi-, rationaali- ja juurifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista niihin liittyviä yhtälöitä sekä tietää polynomifunktion nollakohtien ja polynomin tekijöiden välisen yhteyden
  • osaa ratkaista yksinkertaisia polynomiepäyhtälöitä
  • osaa käyttää ohjelmistoja matemaattisessa mallintamisessa, polynomi-, rationaali- ja juurifunktioiden tutkimisessa sekä polynomi-, rationaali- ja juuriyhtälöiden ja polynomiepäyhtälöiden ratkaisemisessa sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt

  • polynomifunktio ja -yhtälö sekä polynomiepäyhtälö
  • 2. asteen yhtälön ratkaisukaava
  • polynomien tulo ja binomikaavat (summan neliö, summan ja erotuksen tulo)
  • polynomien tekijät
  • potenssifunktio ja potenssiyhtälö (eksponenttina positiivinen kokonaisluku)
  • rationaalifunktiot ja -yhtälöt
  • juurifunktiot ja -yhtälöt

Tarkennuksia sisältöihin

  • Polynomit: Polynomilausekkeiden sieventäminen ja tekijöihin jako nollakohtien avulla. Polynomilausekkeen muodostaminen nollakohtien ja yhden arvon avulla. Binomikaavojen käyttö. 
  • Polynomiyhtälöt ja -epäyhtälöt: ensimmäisen ja toisen asteen yhtälön ratkaiseminen, diskriminanttitarkastelut sekä tulon nollasääntö. Sellaiset korkeamman asteen yhtälöt, joiden ratkaiseminen perustuu tulon nollasääntöön, kun tekijöihin jaossa hyödynnetään ryhmittelyä ja/tai yhteisen tekijän erottamista. Bikvadraattiset ja muut toisen asteen yhtälöön palautuvat yhtälöt. Yleinen juuri ja potenssiyhtälöt. Polynomiepäyhtälön ratkaiseminen.
  • Funktiot: Toisen ja kolmannen asteen polynomifunktion sekä potenssifunktion kuvaajan tyypilliset piirteet. Funktion määrittelyjoukko (tai määrittelyehto) ja sen vaikutus funktion kuvaajaan ja yhtälöiden ratkaisuihin. Neliöjuuren laskusäännöt ja neliöjuurilausekkeiden sieventäminen. Juuriyhtälön ratkaiseminen määrittelyehto ja neliöönkorotusehto huomioiden. Rationaalilausekkeiden käsittely ja sieventäminen. Yksinkertaiset rationaaliyhtälöt.

Ohjelmistotaidot

  • harjaantuu sujuvaan laskinohjelmien käyttöön peruslaskutoimitusten yhteydessä (tarkka arvo ja likiarvo)
  • oppii tallentamaan funktion sekä laskemaan funktion arvoja 
  • oppii piirtämään funktion kuvaajan sekä muuttamaan koordinaatiston asetuksia tilanteeseen sopiviksi
  • oppii tutkimaan funktion kuvaajaa: havainnoimaan funktion arvoa, merkkiä, nollakohtia sekä muita leikkauspisteitä 
  • oppii ratkaisemaan yhtälön symbolisesti (ratkaise-toiminto)
  • oppii ratkaisemaan yhtälöparin graafisesti ja symbolisesti
  • tutustuu sähköiseen vastaamiseen matematiikassa (esim. kaavaeditorin käyttö)
  • oppii sieventämään lausekkeita sekä jakamaan polynomeja tekijöihin 
  • oppii tutkimaan, esim. liukusäätimen avulla, miten polynomifunktion kertoimet vaikuttavat funktion kuvaajaan 
  • harjoittelee sähköistä vastaamista.

Laaja-alainen osaaminen

Laaja-alaisen osaamisen osa-alueista opintojaksolla painottuvat hyvinvointiosaaminen ja vuorovaikutusosaaminen. Hyvinvointiosaamisen korostaminen voi näkyä opintojaksolla esimerkiksi niin, että opiskelijaa ohjataan tavoitteellisesti tunnistamaan ja hyödyntämään omia vahvuuksiaan ja toisaalta kehittämiskohteitaan sekä huomaamaan, että menestyksellinen matematiikan opiskelu vaatii pitkäjänteistä työntekoa ja sinnikkyyttä. Vuorovaikutusosaaminen näkyy esimerkiksi niin, että opetustilanteissa rakennetaan positiivinen, avoin ja kannustava ilmapiiri tukemaan jokaista opiskelijaa ja auttamaan heitä saavuttamaan omia tavoitteita.

MAA17

Tavoitteet: 

Oppilas oppii kirjoittamaan matemaattista tekstiä käyttäen sähköisiä välineitä sekä oppii käyttämään sujuvasti ohjelmistoja osana matemaattista ratkaisua. Oppilas oppii mallintamaan funktioita ja tulkitsemaan funktioiden kuvaajia.
 
Sisältö:

Opettajan valitseminen ohjelmistojen (kuten GeoGebra, Classpad, SpeedCrunch) käytön harjoittelu ensimmäisen vuoden opintojen sisältöjen avulla. 

MAA3 Geometria 2 op.

Opintojakso koostuu moduulista MAA3
Opintojakso arvioidaan numeroarvioinnilla

Yleiset tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija
  • harjaantuu hahmottamaan ja kuvaamaan tilaa ja muotoa koskevaa tietoa sekä kaksi- että kolmiulotteisissa tilanteissa
  • osaa soveltaa yhdenmuotoisuutta, Pythagoraan lausetta sekä suora- ja vinokulmaisen kolmion trigonometriaa
  • harjaantuu muotoilemaan, perustelemaan ja käyttämään geometrista tietoa sisältäviä lauseita
  • osaa käyttää ohjelmistoja tutkiessaan kuvioita ja kappaleita sekä niihin liittyvää geometriaa.

Keskeiset sisällöt

  • kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus
  • sini- ja kosinilause
  • monikulmioihin liittyvien pituuksien, kulmien ja pinta-alojen laskeminen
  • ympyrän ja sen osien ja siihen liittyvien suorien geometriaa
  • suoraan lieriöön ja suoraan kartioon sekä palloon liittyvien pituuksien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen

Tarkennuksia sisältöihin

  • Suorakulmainen kolmio: Pythagoraan lause, kolmion terävän kulman trigonometriset suhteet sini, kosini ja tangentti sekä muistikolmiot.
  • Kolmiot ja muut monikulmiot: monikulmion kulmien summa, tasakylkisen kolmion ja suunnikkaan ominaisuudet sekä säännölliset monikulmiot. Sini- ja kosinilause sekä kolmion pinta-ala.
  • Kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus: yhdenmuotoisuus ja mittakaava sekä yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen ja yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde. Kolmioiden kk-yhdenmuotoisuuslause sekä kulmanpuolittajalause.
  • Ympyrä: Kehän, kaaren ja jänteen pituus. Ympyrän, sektorin ja segmentin pinta-ala. Ympyrän kehäkulmalause, tangentti ja tangenttikulmalause.
  • Avaruusgeometria: Kappaleisiin liittyviä käsitteitä (mm. särmä, tahko, pohja, vaippa; särmiö, pyramidi, tetraedri). Riittää, että opiskelija hallitsee palloon, suoraan lieriöön sekä suoraan kartioon liittyviä pituus-, pinta-ala ja tilavuuslaskuja sekä yksinkertaisia avaruuskulmiin liittyviä laskuja (esim. kuution sisään syntyvät kulmat) ja piirroksia. Sisäkkäisiin avaruuskappaleisiin liittyvät haastavammat tilanteet voidaan käsitellä opintojaksossa MAA10. Kulma avaruudessa opiskellaan tarkemmin opintojaksossa MAA10.

Ohjelmistotaidot

  • oppii tutkimaan kuvioiden ominaisuuksia ja säännönmukaisuuksia dynaamisen geometrian ohjelmalla (esim. ympyrän keskuskulma ja kehäkulma, kolmion merkilliset pisteet) 
  • oppii piirtämään mallikuvan ja tarkistamaan laskemalla saadun ratkaisun 
  • tutustuu yksinkertaisten mallikuvien piirtämiseen myös yo-kokeen A-osan ohjelmistoilla  
  • tutustuu ongelman ratkaisemiseen konstruoimalla kuvion tai kappaleen ja määrittämällä kulman, pituuden, pinta-alan tai muun mitan hyödyntämällä ohjelmistoa  
  • harjaantuu laskinohjelmien rohkeaan hyödyntämiseen geometrian ongelmien ratkaisemisessa (mm. laskemisessa, sieventämisessä ja yhtälönratkaisussa sekä sinin, kosinin ja tangentin arvojen laskemisessa ja terävän kulman ratkaisemisessa).

Laaja-alainen osaaminen

Laaja-alaisen osaamisen osa-alueista opintojaksolla painottuu monitieteinen ja luova osaaminen. Tämä voi näkyä opintojaksolla esimerkiksi niin, että opiskelija oppii hahmottamaan matemaattisten käsitteiden merkityksiä ja tunnistamaan, kuinka ne liittyvät laajempiin kokonaisuuksiin sekä matematiikassa että muissa oppiaineissa.

MAA4 Analyyttinen geometria ja vektorit 4 op.

Opintojakso koostuu moduuleista

  • MAA4 Analyyttinen geometria ja vektorit, 3 op.
  • MAA18 Ohjelmistotaidot matematiikan opiskelussa 2, 1 op.

Opintojaksoon kuuluvat moduulit arvioidaan

  • MAA4 numeroarvioinnilla
  • MAA18 suoritusmerkinnällä

Yleiset tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija
  • ymmärtää, kuinka analyyttinen geometria luo yhteyksiä geometristen ja algebrallisten käsitteiden välille
  • ymmärtää yhtälön geometrisen merkityksen
  • osaa ratkaista muotoa | f(x) | = a tai | f(x) | = | g(x) | olevia itseisarvoyhtälöitä
  • ymmärtää vektorikäsitteen ja perehtyy vektorilaskennan perusteisiin
  • osaa tutkia kaksiulotteisen koordinaatiston pisteitä, etäisyyksiä ja kulmia vektoreiden avulla
  • osaa ratkaista tasogeometrian ongelmia vektoreiden avulla
  • osaa käyttää ohjelmistoja käyrien ja vektoreiden tutkimisessa sekä niihin liittyvissä sovelluksissa.

Keskeiset sisällöt

  • käyrän yhtälö
  • suoran, ympyrän ja paraabelin yhtälö
  • yhtälöryhmä
  • suorien yhdensuuntaisuus ja kohtisuoruus
  • itseisarvoyhtälö
  • pisteen etäisyys suorasta
  • vektoreiden perusominaisuudet
  • tason vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku sekä tason vektorin kertominen luvulla
  • tason vektoreiden pistetulo, tason vektoreiden välinen kulma

Tarkennuksia sisältöihin

  • Käyrän yhtälö: karteesinen tasokoordinaatisto ja sen piste, suora, ympyrä sekä paraabeli; suoran ja ympyrän yhtälöt sekä neliöksi täydentäminen ympyrän tai paraabelin yhtälön käsittelyn yhteydessä; ympyrän tangentit; paraabeli, kun akseli on koordinaattiakselien suuntainen, polttopiste ja johtosuora, paraabelin yhtälön eri esitysmuodot (nollakohtamuotoinen ja huippupistemuotoinen yhtälö); yhtälöpari ja menetelmät eri leikkauspisteiden ratkaisemiseen (esim. kaksi suoraa, ympyrä ja suora, paraabeli ja suora), lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen.
  • Itseisarvo: itseisarvon määritelmä ja yhtälöt, joiden ratkaiseminen perustuu määritelmään.
  • Vektoreiden perusominaisuudet, nollavektori, vastavektori, vektoreiden yhdensuuntaisuus ja kohtisuoruus, vektorin pituus, vektorin suuntainen yksikkövektori ja vektorien välinen kulma.
  • Vektorit: tarkastelun painopiste on xy-tason vektoreissa. Vektoreiden kantavektoriesitys, suorien yhdensuuntaisuus ja kohtisuoruus, suuntakulma ja suorien välinen kulma sekä vektorilaskennan että analyytisen geometrian menetelmillä. 

Ohjelmistotaidot 

  • osaa piirtää erilaisia tasokäyriä ja havainnollistaa käyräparvea esim. liukusäätimellä 
  • osaa ratkaista yhtälöryhmän symbolisesti (esim. paraabelin lausekkeen muodostaminen annettujen pisteiden avulla) 
  • oppii ratkaisemaan itseisarvoyhtälön graafisesti ja symbolisesti sekä havainnoimaan, miten käyrät y=f(x) ja y=|f(x)| liittyvät toisiinsa 
  • harjaantuu sujuvuuteen mallikuvan piirtämisessä ja laskemalla saadun vastauksen tarkistamisessa  
  • oppii piirtämään vektoreita sekä tekemään vektorien laskutoimituksia (vektoreiden yhteenlasku, luvulla kertominen, pituuden laskeminen, yksikkövektorin muodostaminen, pistetulo ja vektoreiden välisen kulman laskeminen) symbolisesti.

Laaja-alainen osaaminen

Laaja-alaisen osaamisen osa-alueista opintojaksolla painottuu hyvinvointiosaaminen sekä monitieteinen ja luova osaaminen. Tämä voi näkyä opintojaksolla esimerkiksi niin, että opiskelijaa ohjataan tavoitteellisesti tunnistamaan ja hyödyntämään omia vahvuuksiaan ja toisaalta kehittämiskohteitaan sekä huomaamaan, että menestyksellinen matematiikan opiskelu vaatii pitkäjänteistä työntekoa ja sinnikkyyttä. Opetuksessa rohkaistaan opiskelijaa tarkastelemaan ongelmia uudella tavalla, yhdistelemään asioita sekä soveltamaan matematiikan menetelmiä eri oppiaineissa. Monitieteellinen lähestymistapa voi motivoida oppimaan uutta ja innostaa uteliaisuuteen sekä merkityksien etsimiseen.

MAA5 Funktiot ja yhtälöt 2, 2 op.

Opintojakso koostuu moduulista MAA5
Opintojakso arvioidaan numeroarvioinnilla

Yleiset tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija
  • tutustuu ilmiöiden matemaattiseen mallintamiseen sini- ja kosinifunktioiden sekä eksponentti- ja logaritmifunktioiden avulla
  • tutkii sini- ja kosinifunktioita yksikköympyrän symmetrioiden avulla
  • osaa ratkaista sellaisia trigonometrisia yhtälöitä, jotka ovat tyyppiä sin f(x) = a tai sin f(x) = sin g(x)
  • osaa soveltaa sini- ja kosinifunktioiden yhteyttä sin2 x + cos2 x = 1
  • tuntee eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista niihin liittyviä yhtälöitä
  • osaa käyttää ohjelmistoja funktioiden tutkimisessa, yhtälöiden ratkaisemisessa ja sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt

  • suunnattu kulma ja radiaani
  • yksikköympyrä
  • sini- ja kosinifunktiot symmetria- ja jaksollisuusominaisuuksineen
  • sini- ja kosiniyhtälöiden ratkaiseminen
  • murtopotenssi ja sen yhteys juureen
  • eksponenttifunktiot ja -yhtälöt
  • logaritmi ja logaritmin laskusäännöt
  • logaritmifunktiot ja -yhtälöt

Tarkennuksia sisältöihin

  • Trigonometriset funktiot: Sini- ja kosini-funktio (tangenttifunktio on karsittu sisällöistä; tangenttia käsitellään edelleen suorakulmaisen kolmion sivujen suhteena opintojaksossa MAA3 ). Arvojoukko, sym-metria ja jaksollisuus sekä kuvaajien perusominaisuudet. Yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen. Jaksollisen ilmiön mallintaminen.
  • Eksponenttifunktio: Potenssikäsitteen yleistys rationaalisille ja reaalisille eksponenteille (kantalukuna positiivinen luku), kuvaajatyypit, Eksponentiaalisen kasvamisen ja vähenemisen kuvaaminen, puoliintumisaika. (Neperin luku ja luonnollinen logaritmi käsitellään opintojaksossa MAA6.)
  • Logaritmifunktio: Logaritmin yhteys eksponenttifunktioon ja logaritmin yleinen määritelmä. Eksponentti- ja logaritmiyhtälön ratkaiseminen. Logaritmifunktion määrittelyjoukko ja kuvaajan peruspiirteet.

Ohjelmistotaidot

  • osaa piirtää yksikköympyrän, suunnatun kulman ja kehäpisteen sekä tutkia näitä (mm. symmetrioita).
  • osaa ratkaista opintojakson piiriin kuuluvia yhtälöitä sekä esittää trigonometristen yhtälöiden ratkaisussa esiintyvän jaksollisuuden
  • osaa tutkia, esim. liukusäätimen avulla, miten opintojakson sisältöihin kuuluvien funktioiden lausekkeessa esiintyvät kertoimet vaikuttavat funktion kuvaajaan
  • osaa sovittaa esim. sinikäyrän ja eksponenttifunktion annettuun pistejoukkoon ilmiötä mallinnettaessa.

Laaja-alainen osaaminen

Laaja-alaisen osaamisen osa-alueista opintojaksolla painottuu eettisyys ja ympäristöosaaminen. Tämä voi näkyä opintojaksolla esimerkiksi niin, että opiskelijaa autetaan hahmottamaan, että matematiikan taitoja voidaan hyödyntää kestävään kehitykseen ja ihmiskuntaan liittyvien ongelmien ratkaisussa.


MAA6 Derivaatta 4 op.

Opintojakso koostuu moduuleista

  • MAA6 Derivaatta 3 op.
  • MAA19 Tukikurssi 1, 1op.

Opintojaksoon kuuluvat moduulit arvioidaan

  • MAA6 numeroarvioinnilla
  • MAA19 suoritusmerkinnällä

Yleiset tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija
  • tutustuu ilmiöiden matemaattisten mallien käyttäytymiseen derivaatan avulla
  • omaksuu havainnollisen käsityksen funktion raja-arvosta ja jatkuvuudesta
  • ymmärtää derivaatan tulkinnan funktion muutosnopeutena
  • kykenee määrittämään yksinkertaisten funktioiden derivaatat
  • osaa derivoida yhdistettyjä funktioita
  • hallitsee funktioiden kulun tutkimisen derivaatan avulla ja osaa määrittää niiden ääriarvot suljetulla välillä
  • osaa käyttää ohjelmistoja raja-arvon, jatkuvuuden ja derivaatan tutkimisessa sovellusten yhteydessä
  • vahvistaa polynomi-, rationaali-, juuri-, eksponentti-, logaritmi- ja trigonometristen funktioiden käsittelytaitoja sekä syventää ymmärrystään funktion raja-arvosta, jatkuvuudesta ja derivaatasta.

Keskeiset sisällöt

  • funktion raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta
  • polynomi- ja rationaalifunktioiden sekä juurifunktion derivaatat
  • sini- ja kosinifunktioiden sekä eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaatat
  • funktioiden tulon ja osamäärän derivaatta
  • yhdistetty funktio ja sen derivointi
  • funktion kulun tutkiminen ja ääriarvojen määrittäminen

Tarkennuksia sisältöihin 

  • Raja-arvo ja jatkuvuus: raja-arvon laskeminen ja jatkuvuustarkastelut tilanteissa, joissa toispuoleisia raja-arvoja ei tarvita (esim. rationaalifunktion raja-arvo ja paloittain jatkuvaksi funktioksi täydentäminen). Jatkuvuus kohdassa x = a ja välillä ]a, b[.
  • Derivaatta: funktion keskimääräinen muutosnopeus ja hetkellinen muutosnopeus, erotusosamäärä ja funktion derivaatta erotusosamäärän raja-arvona. Derivaattafunktio. Aikaisemmissa opintjoaksoissa kohdattujen alkeisfunktioiden derivoiminen (mukaan lukien ketjusääntö yksinkertaisissa tilanteissa). Käyrän tangentti ja normaali. Neperin luku ja luonnollinen logaritmi.
  • Funktion kulku: kasvavan ja vähenevän funktion määritelmät. Funktion kulun tutkiminen sekä lokaalien ääriarvojen määrittäminen derivaatan nollakohtien ja merkin avulla. Rationaalifunktion derivaatan merkkitarkastelu voidaan tehdä nollakohtien, määrittelyehdon ja testipisteiden avulla. Yhtälön juurten olemassaolo ja yksikäsitteisyys (Bolzanon lause). Suljetulla välillä jatkuvan funktion suurimman ja pienimmän arvon määrittäminen (Fermat'n lause).
  • Ääriarvosovellukset: tilannetta kuvaavan funktion muodostaminen ja määrittelyehto. Ääriarvokohtien ratkaiseminen derivaatan nollakohdista laskennallisesti. Suurimman/pienimmän arvon määrittäminen suljetulla välillä tai funktion kulkuun vedoten. (Avaruuskappaleisiin liittyvät ääriarvosovellukset käsitellään opintojaksossa MAA10. Paloittain määritelty funktio sekä raja-arvot äärettömyydessä käsitellään opintojaksossa MAA12.)
  • Tukikurssin tunneilla opiskelija vahvistaa polynomi-, rationaali-, trigonometristen sekä juuri- ja logaritmifunktioiden käsittelytaitoja sekä syventää ymmärrystään funktion raja-arvosta, jatkuvuudesta ja derivaatasta.

Ohjelmistotaidot

  • harjaantuu sujuvaan lausekkeiden käsittelyyn (sieventämiseen ja arvojen laskemiseen) mm. erotusosamäärän lausekkeen käsittelyssä 
  • oppii tutkimaan raja-arvoa esim. taulukoimalla tai kuvaajan avulla 
  • oppii määrittämään raja-arvoja
  • oppii piirtämään funktion kuvaajalle sekantin ja tangentin (dynaamisesti), määrittämään kulmakertoimen (graafinen derivointi)  
  • osaa havainnoida derivaatan merkkiä ja funktion kasvavuutta (sekä funktion että derivaattafunktion) kuvaajasta  
  • oppii derivoimaan funktion, laskemaan derivaatan arvon ja määrittämään derivaatan nollakohdan symbolisesti 
  • rohkaistuu ohjelmiston hyödyntämiseen funktion derivoimisessa, yhtälönratkaisussa ja arvojen laskemisessa sovellustehtävissä. 

Laaja-alainen osaaminen

Laaja-alaisen osaamisen osa-alueista opintojaksolla painottuu yhteiskunnallinen osaaminen. Tämä voi näkyä opintojaksolla esimerkiksi niin, että opetus tukee opiskelijan yritteliäisyyttä ja yrittäjämäistä toimintaa sekä opettaa työn loppuunsaattamisen merkityksen.

MAA7 Integraalilaskenta 2 op.

Opintojakso koostuu moduulista MAA7
Opintojakso arvioidaan numeroarvioinnilla

Yleiset tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija
  • ymmärtää integraalifunktion käsitteen ja oppii määrittämään yksinkertaisten funktioiden integraalifunktioita
  • ymmärtää määrätyn integraalin käsitteen ja sen yhteyden pinta-alaan sekä tutustuu numeeriseen menetelmään määrätyn integraalin määrittämisessä
  • osaa määrittää pinta-aloja ja tilavuuksia määrätyn integraalin avulla
  • perehtyy integraalilaskennan sovelluksiin
  • osaa käyttää ohjelmistoja funktion ominaisuuksien tutkimisessa, integraalifunktion määrittämisessä, määrätyn integraalin laskemisessa sovellusten yhteydessä sekä numeerisessa integroinnissa.

Keskeiset sisällöt

  • integraalifunktio ja tärkeimpien alkeisfunktioiden integrointi
  • määrätty integraali
  • suorakaidesääntö
  • pinta-alan ja tilavuuden laskeminen

Tarkennuksia sisältöihin

  • Integroimistekniikat: aikaisemmissa opintojaksoissa kohdattujen alkeisfunktioiden integroiminen, mukaanlukien yhdistetyn funktion derivoimiseen (ketjusääntöön) perustuva integroiminen yksinkertaisissa tilanteissa. Integroimistekniikoita voidaan laajentaa opintojaksossa MAA12. 
  • Määrätty integraali: määrätyn integraalin määritelmän idea suorakaidesäännön avulla tarkasteltuna, määrätyn integraalin laskeminen integraalifunktion avulla (analyysin peruslause) ja määrätyn integraalin laskeminen numeerisesti (likiarvona) suorakaidesäännön avulla. 
  • Integraalilaskennan sovellukset: määrätyn integraalin yhteys pinta-alaan ja tilavuuteen, pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. Tutustutaan muihin integraalilaskennan sovelluksiin, esim. määrän laskeminen muutosnopeudesta. Integraalilaskennan sovelluksia laajennetaan opintojaksossa MAA12. 

Ohjelmistotaidot  

  • osaa piirtää pinta-alan tehtävänannon mukaisesti 
  • osaa arvioida pinta-alan ylä- ja alasummien avulla dynaamisesti (idea määrätyn integraalin määritelmästä) 
  • osaa integroida funktion ja laskea määrätyn integraalin arvon (tarkan arvon ja likiarvon) 
  • osaa havainnollistaa, esim. liukusäätimen avulla, integroimisvakion C vaikutusta integraalifunktion kuvaajaan 
  • tutustuu pyörähdyskappaleen havainnollistamiseen 
  • tutustuu menetelmiin laskea määrättyjä integraaleja numeerisesti, esim. suorakaidesäännön avulla. 

Laaja-alainen osaaminen

Laaja-alaisen osaamisen osa-alueista opintojaksolla painottuu monitieteinen ja luova osaaminen. Tämä voi näkyä opintojaksolla esimerkiksi niin, että opiskelija oppii hahmottamaan matemaattisten käsitteiden merkityksiä ja tunnistamaan, kuinka ne liittyvät laajempiin kokonaisuuksiin sekä matematiikassa että muissa oppiaineissa.

MAA8 Tilastot ja todennäköisyys 2 op.

Opintojakso koostuu moduulista MAA8
Opintojakso arvioidaan numeroarvioinnilla

Yleiset tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija
  • osaa havainnollistaa diskreettiä tilastollista jakaumaa sekä määrittää ja tulkita jakauman tunnuslukuja
  • osaa havainnollistaa kahden muuttujan yhteisjakaumaa sekä määrittää korrelaatiokertoimen ja regressiokäyrän
  • perehtyy kombinatorisiin menetelmiin
  • perehtyy todennäköisyyden käsitteeseen ja laskusääntöihin
  • ymmärtää diskreetin todennäköisyysjakauman käsitteen ja oppii määrittämään jakauman odotusarvon ja tulkitsemaan sitä
  • osaa käyttää ohjelmistoja digitaalisessa muodossa olevan datan hakemisessa, käsittelyssä ja tutkimisessa sekä tilastollisen tiedon esittämisessä
  • osaa hyödyntää ohjelmistoja jakaumien havainnollistamisessa, tunnuslukujen määrittämisessä sekä todennäköisyyksien laskemisessa.

Keskeiset sisällöt

  • keskiluvut ja keskihajonta
  • korrelaatio ja lineaarinen regressio
  • klassinen ja tilastollinen todennäköisyys
  • permutaatiot ja kombinaatiot
  • todennäköisyyden laskusäännöt
  • binomijakauma
  • diskreetti todennäköisyysjakauma
  • diskreetin jakauman odotusarvo

Tarkennuksia sisältöihin 

  • Tilastot: perusjoukko ja otos. Frekvenssitaulukot ja tilastollinen todennäköisyys. Tilastolliset tunnusluvut. Tunnuslukujen laskentaperiaatteen ymmärtäminen. Tilastolliset kuvaajat. 
  • Kahden muuttujan yhteisjakauma: Selittävä ja selitettävä muuttuja, hajontakuvio, lineaarisen riippuvuuden havainnoiminen hajontakuviosta. Regressiosuora ja korrelaatiokerroin. Regressiomallin avulla tehdyt ennusteet.
  • Todennäköisyys: Klassinen todennäköisyys ja alkeistapausten laskemismenetelmiä. Riippumattomien tapahtumien kertolaskusääntö ja yleinen kertolaskusääntö. Erillisten tapahtumien yhteenlaskusääntö ja yleinen yhteenlaskusääntö. Komplementtisääntö. Venn-diagrammin hyödyntäminen laskusääntöjen havainnollistamisessa. Toistokoe ja binomitodennäköisyys.
  • Diskreetti todennäköisyysjakauma: Satunnaismuuttuja ja pistetodennäköisyys. Jakauman odotusarvo ja sen tulkinta. Toistokoe, binomijakauma ja sen odotusarvo. 

Ohjelmistotaitoja

  • harjaantuu taulukkolaskentaohjelman sujuvaan käyttöön, mm. soluviittaukset, lajittelu/järjestäminen ja suodatus (eli oleellisen informaation erottaminen)  
  • harjaantuu tilastollisen aineiston sujuvaan käsittelyyn: oppii tiivistämään tietoa taulukoimalla ja määrittämällä tunnuslukuja sekä havainnollistamaan tilastoja erilaisilla kaavioilla  
  • oppii piirtämään hajontakuvion, sovittamaan regressiosuoran sekä määrittämään korrelaatiokertoimen  
  • oppii laskemaan permutaatioita ja kombinaatioita 
  • oppii piirtämään binomijakauman kuvaajan, määrittämään jakauman tunnusluvut sekä määrittämään todennäköisyyksiä ja ratkaisemaan käänteisen tilanteen 
  • tutustuu ajankohtaisen tilastotiedon etsimiseen ja lataamiseen eri verkkolähteistä sekä tiedon käsittelyyn, kuvaamiseen ja analysoimiseen.

Laaja-alainen osaaminen

Laaja-alaisen osaamisen osa-alueista opintojaksolla painottuu yhteiskunnallinen osaaminen. Tämä voi näkyä opintojaksolla esimerkiksi niin, että opetus tukee opiskelijan yritteliäisyyttä ja yrittäjämäistä toimintaa sekä opettaa työn loppuunsaattamisen merkityksen.

MAA9 Talousmatematiikka 2 op.

Opintojakso koostuu moduuleista

  • MAA9 Talousmatematiikka 1 op.
  • MAA16 Tukikurssi 2, 1op.

Opintojaksoon kuuluvat moduulit arvioidaan

  • MAA9 numeroarvioinnilla
  • MAA16 suoritusmerkinnällä

Yleiset tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija
  • oppii hyödyntämään matemaattisia valmiuksiaan resurssien riittävyyteen, talouden suunnitteluun, yrittäjyyteen ja kannattavuuden laskentaan
  • soveltaa lukujonojen kaavoja talouteen liittyvissä matemaattisissa ongelmissa
  • oppii sovittamaan taloudellisiin tilanteisiin matemaattisia malleja ja ymmärtää niiden rajoitukset
  • osaa hyödyntää ohjelmistoja laskelmien tekemisessä ja sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt

  • aritmeettinen ja geometrinen lukujono ja niiden summat
  • korkolaskut: koron korko, nykyarvo ja diskonttaus
  • talletukset ja lainat
  • taloudellisiin tilanteisiin soveltuvia matemaattisia malleja, joissa hyödynnetään lukujonoja ja summia

Tarkennuksia sisältöihin 

  • Lukujonot: Rajoitutaan aritmeettiseen ja geometriseen lukujonoon ja summaan. Sovelluksina tarkastellaan esim. peräkkäisiä sijoituksia (kuten talletuksia) ja sijoitusten kokonaisarvoa. Talouden sovellusten lisäksi voidaan tarkastella esim. ekologisten resurssien riittävyyttä kuten luonnonvarojen riittävyyslaskelmia (esim. fossiilisten polttoaineiden, ruuan ja puhtaan veden riittävyys). 
  • Korkolaskenta: Koronkorkolaskussa tutustutaan yleisiin käytäntöihin korkoaikojen laskemisessa, tulosten pyöristämisessä jne. Koronkorko- ja diskonttausmenetelmä: kasvanut pääoma, eriaikaisten maksujen nykyarvo. Lainat. Peruskäsitteet (lainapääoma, lyhennys, takaisinmaksuerä jne.).
  • Lainat: Eri lainamuodot, (asuntolaina, opintolaina, kulutusluotto, pikavippi) ja takaisinmaksuperiaatteet (tasalyhennyslaina, tasaerä- eli annuiteettilaina ja kiinteä tasaerälaina) sekä lainan hoito (lyhennysten, korkojen ja jäljellä olevan lainan määrän laskeminen eri lainamuodoissa, ja eri lainamuotojen vertailu).
  • Tukikurssin tunneilla vahvistetaan ohjelmistojen käyttötaitoja talousmatematiikan sovelluksissa.

Ohjelmistotaidot  

  • oppii hyödyntämään symbolista laskentaa talousmatematiikan laskuissa, esim. annuiteettilainan yhteydessä  
  • oppii tekemään lukujonoihin liittyviä laskuja: esim. tallentaa lukujonon funktiona f(n) 
  • oppii laskemaan lukujonon jäseniä ja ratkaisemaan yhtälöitä  
  • oppii tekemään lainalaskelmia (esim. taulukkolaskentaohjelmassa)  
  • tutustuu esim. verkosta löytyvien laskureiden (esim. hiilijalanjälki) laskentaperiaatteisiin

Laaja-alainen osaaminen

Laaja-alaisen osaamisen osa-alueista opintojaksolla painottuu yhteiskunnallinen osaaminen, hyvinvointiosaaminen sekä eettisyys. Tämä voi näkyä opintojaksolla esimerkiksi niin, että opetuksessa tutkitaan arkielämän ja matematiikan välisiä yhteyksiä ja/tai ohjataan opiskelijaa kehittävään ja uudistuvaan otteeseen suhteessa omaan uraan ja taloudenhoitoon sekä yrittäjämäiseen asenteeseen. Opetuksessa kannustetaan vastuunottoon omasta oppimisesta luomalla työn tekemisen kulttuuri, joka arvostaa omaa ja muiden osaamista ja sallii erityisosaamista mutta myös epäonnistumisia. Opiskelijaa autetaan hahmottamaan, että matematiikan avulla voidaan jäsentää ja ratkaista globaaleja ongelmia.
MAA16
 

Tavoitteet:

  • vahvistaa polynomi-, rationaali-, trigonometristen sekä juuri- ja logaritmifunktioiden käsittelytaitoja
  • syventää ymmärrystään funktion raja-arvosta, jatkuvuudesta sekä derivaatasta
  • harjoittelee käyttämään sujuvasti ohjelmistoja osana matemaattista ratkaisua
Sisältö:
  • pitkän matematiikan pakollisten kurssien keskeisimmät sisällöt kursseista MAA6- MAA7
  • ohjelmistojen (kuten GeoGebra, Classpad, SpeedCrunch) käytön harjoittelu