MAA6 Derivaatta 4 op.
Opintojakso koostuu moduuleista
- MAA6 Derivaatta 3 op.
- MAA19 Tukikurssi 1, 1op.
Opintojaksoon kuuluvat moduulit arvioidaan
- MAA6 numeroarvioinnilla
- MAA19 suoritusmerkinnällä
Yleiset tavoitteet
Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija
- tutustuu ilmiöiden matemaattisten mallien käyttäytymiseen derivaatan avulla
- omaksuu havainnollisen käsityksen funktion raja-arvosta ja jatkuvuudesta
- ymmärtää derivaatan tulkinnan funktion muutosnopeutena
- kykenee määrittämään yksinkertaisten funktioiden derivaatat
- osaa derivoida yhdistettyjä funktioita
- hallitsee funktioiden kulun tutkimisen derivaatan avulla ja osaa määrittää niiden ääriarvot suljetulla välillä
- osaa käyttää ohjelmistoja raja-arvon, jatkuvuuden ja derivaatan tutkimisessa sovellusten yhteydessä
- vahvistaa polynomi-, rationaali-, juuri-, eksponentti-, logaritmi- ja trigonometristen funktioiden käsittelytaitoja sekä syventää ymmärrystään funktion raja-arvosta, jatkuvuudesta ja derivaatasta.
Keskeiset sisällöt
- funktion raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta
- polynomi- ja rationaalifunktioiden sekä juurifunktion derivaatat
- sini- ja kosinifunktioiden sekä eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaatat
- funktioiden tulon ja osamäärän derivaatta
- yhdistetty funktio ja sen derivointi
- funktion kulun tutkiminen ja ääriarvojen määrittäminen
Tarkennuksia sisältöihin
- Raja-arvo ja jatkuvuus: raja-arvon laskeminen ja jatkuvuustarkastelut tilanteissa, joissa toispuoleisia raja-arvoja ei tarvita (esim. rationaalifunktion raja-arvo ja paloittain jatkuvaksi funktioksi täydentäminen). Jatkuvuus kohdassa x = a ja välillä ]a, b[.
- Derivaatta: funktion keskimääräinen muutosnopeus ja hetkellinen muutosnopeus, erotusosamäärä ja funktion derivaatta erotusosamäärän raja-arvona. Derivaattafunktio. Aikaisemmissa opintjoaksoissa kohdattujen alkeisfunktioiden derivoiminen (mukaan lukien ketjusääntö yksinkertaisissa tilanteissa). Käyrän tangentti ja normaali. Neperin luku ja luonnollinen logaritmi.
- Funktion kulku: kasvavan ja vähenevän funktion määritelmät. Funktion kulun tutkiminen sekä lokaalien ääriarvojen määrittäminen derivaatan nollakohtien ja merkin avulla. Rationaalifunktion derivaatan merkkitarkastelu voidaan tehdä nollakohtien, määrittelyehdon ja testipisteiden avulla. Yhtälön juurten olemassaolo ja yksikäsitteisyys (Bolzanon lause). Suljetulla välillä jatkuvan funktion suurimman ja pienimmän arvon määrittäminen (Fermat'n lause).
- Ääriarvosovellukset: tilannetta kuvaavan funktion muodostaminen ja määrittelyehto. Ääriarvokohtien ratkaiseminen derivaatan nollakohdista laskennallisesti. Suurimman/pienimmän arvon määrittäminen suljetulla välillä tai funktion kulkuun vedoten. (Avaruuskappaleisiin liittyvät ääriarvosovellukset käsitellään opintojaksossa MAA10. Paloittain määritelty funktio sekä raja-arvot äärettömyydessä käsitellään opintojaksossa MAA12.)
- Tukikurssin tunneilla opiskelija vahvistaa polynomi-, rationaali-, trigonometristen sekä juuri- ja logaritmifunktioiden käsittelytaitoja sekä syventää ymmärrystään funktion raja-arvosta, jatkuvuudesta ja derivaatasta.
Ohjelmistotaidot
- harjaantuu sujuvaan lausekkeiden käsittelyyn (sieventämiseen ja arvojen laskemiseen) mm. erotusosamäärän lausekkeen käsittelyssä
- oppii tutkimaan raja-arvoa esim. taulukoimalla tai kuvaajan avulla
- oppii määrittämään raja-arvoja
- oppii piirtämään funktion kuvaajalle sekantin ja tangentin (dynaamisesti), määrittämään kulmakertoimen (graafinen derivointi)
- osaa havainnoida derivaatan merkkiä ja funktion kasvavuutta (sekä funktion että derivaattafunktion) kuvaajasta
- oppii derivoimaan funktion, laskemaan derivaatan arvon ja määrittämään derivaatan nollakohdan symbolisesti
- rohkaistuu ohjelmiston hyödyntämiseen funktion derivoimisessa, yhtälönratkaisussa ja arvojen laskemisessa sovellustehtävissä.
Laaja-alainen osaaminen
Laaja-alaisen osaamisen osa-alueista opintojaksolla painottuu yhteiskunnallinen osaaminen. Tämä voi näkyä opintojaksolla esimerkiksi niin, että opetus tukee opiskelijan yritteliäisyyttä ja yrittäjämäistä toimintaa sekä opettaa työn loppuunsaattamisen merkityksen.