MATIKKATARINA NELJÄSTÄ TONTUSTA JA LASKENNON MAASTA
KERTOTAULUT 1-10, kirjoittanut: Susanna Kekola
Päivä 1: Yhteenlaskun ja kertolaskun yhteys
Neljä tonttua: Pessi Plussa, Karri Kertoja, Janni Jakaja ja Minni Miinus olivat kotiin palattuaan jatkaneet timanttien louhimista. Tontut työskentelivät yhdessä kallion uumenissa etsien kimaltelevia timantteja.
Eräänä päivänä luolassa kulkiessaan, he löysivät uuden polun. Polun varrella oli pieniä kiviä, joiden päälle oli aseteltu timantteja. Joku oli jo louhinut timantit irti kalliosta! Pessi Plussa innostui ensimmäisenä ja alkoi laskea timantteja:
"Meillä on täällä neljä kiveä, ja jokaisen kiven päälle on aseteltu neljä timanttia. Voimme laskea kaikki timantit yhteenlaskulla. Siis…4 + 4 + 4 + 4… Siis yhteensä 16 timanttia!" hän hihkaisi tyytyväisenä.
Silloin Karri Kertoja virnisti ja astui eteenpäin. "Pessi, tiedätkö, että voisit laskea tämän paljon nopeammin kertolaskulla? Katsos, koska joka kivellä on neljä timanttia ja kiviä on neljä, voimme kertoa luvut keskenään: 4 × 4 = 16. Tulos on sama: 16 timanttia!" Karri selitti.
Pessi katsoi Karriin yllättyneenä: "Aivan, ihan sama määrä timantteja, mutta paljon nopeammin laskettuna! Kertolasku onkin kätevää!"
Janni Jakaja ja Minni Miinus seurasivat sivusta ja hymyilivät tyytyväisinä. "Onneksi meillä on monta eri tapaa laskea timantteja," Minni totesi.
Tontut jatkoivat timanttien laskemista, välillä yhteenlaskua, välillä kertolaskua käyttäen. He ymmärsivät, että molemmat tavat olivat hyödyllisiä omalla tavallaan.
Mutta kuka timantit oli asetellut kivien päälle, jäi vielä arvoitukseksi.
Päässälaskut:
- Tontut löytävät polun varrelta kuusi kiveä. Jokaisen kiven päällä on kolme timanttia. Kuinka monta timanttia kivillä on yhteensä? (18)
- Pessi löytää kahdeksan kiveä, ja jokaisen kiven päällä on kaksi timanttia. Kuinka monta timanttia kivillä on yhteensä? (16)
- Janni ja Minni löytävät polulta viisi kiveä, ja jokaisella kivellä on viisi timanttia. Kuinka monta timanttia kivillä on yhteensä? (25)
Päivä 2: Kahden kertotaulu
Seuraavana päivänä tontut palasivat kallion uumeniin edellisenä päivänä löytämänsä timanttipolun luo. He hieraisivat silmiään hämmästyksestä: Uusia timantteja oli ilmestynyt polun varrelle. Ne oli jälleen aseteltu tarkasti kivien päälle, kuten edellisenäkin päivänä.
"Onpa merkillistä," Karri totesi silmät suurina. "Mehän keräsimme nämä eilen?"
"Totta, mutta ei tässä ole valittamista. Me pääsemme helpolla, kun joku on louhinut timantit valmiiksi" Janni hihkaisi innoissaan. "Otetaan säkit esiin ja kerätään ne talteen!"
Tontut valmistautuivat keräämään timantit, kun yhtäkkiä he huomasivat jäniksen hyppelehtivän kiveltä toiselle. Se hyppäsi aina joka toiselle kivelle, ja sen vauhti oli huima.
"Hei katsokaa! Minne tuo jänis on menossa? Seurataan sitä!" Karri sanoi ja nyökkäsi päättäväisesti.
Tontut lähtivät kulkemaan polkua jäniksen perässä. Polku jatkui kiveltä toiselle, ja tontut hyppivät jäniksen perässä laskien samalla kiviä, joille hyppivät: "2, 4, 6, 8, 10…" Pessi laski hengästyneenä.
"14, 16, 18, 20!" Minni jatkoi laskemista.
Lopulta jänis pysähtyi 20. kivelle. Ja tontut eivät voineet uskoa silmiään. Juuri siinä kivellä, jolla jänis seisoi, oli suuri, säteilevä punainen timantti.
"Vau, tämä on kaunein timantti, mitä olen koskaan nähnyt!" Karri kuiskasi ihaillen.
Karri nosti säteilevän timantin käteensä ja huomasi, että sen keskellä hohti numero 2.
"Katsokaa! Tämä timantti… siinä on numero 2." Karri sanoi hämmentyneenä.
Juuri kun Karri oli saanut sanottua, että timantin keskellä hohti numero 2, he kuulivat pehmeän, hyrisevän äänen aivan vierestään. Tontut katsoivat ympärilleen hämmentyneinä ja näkivät pienen, karvaisen hahmon, joka tuijotti heitä suurilla, kimmeltävillä silmillään.
Hahmo oli pieni ja pyöreä, turkki punaisen sävyissä hehkuva, ja sillä oli pienet, sirot kädet. Hahmo otti Karrilta punaisen timantin ja piteli sitä hellästi käsissään. Tontut eivät olleet koskaan nähneet mitään vastaavaa.
"Hei, tervetuloa timanttipolulle!" pieni otus sanoi iloisesti ja kumarsi heille kohteliaasti. "Minä olen mönkijäinen”.
"Mönkijäinen?" Janni toisti ihmeissään. "Oletko sinä se, joka asettelee nämä timantit tänne polulle?"
Mönkijäinen nyökkäsi iloisesti. "Kyllä vain! Me mönkijäiset keräämme kallion sisältä näitä kauniita timantteja ja asetamme niitä polulle valaisemaan luolaa. Mutta tämä erityinen timantti, jonka nyt löysitte… se on kahden kertotaulutimantti."
Tontut katsoivat toisiaan ihmetellen. "Kahden kertotaulutimantti?" Karri toisti.
"Juuri niin!" Mönkijäinen vastasi ja näytti ylpeältä. "Kahden kertotaulutimantti on erittäin harvinainen. Sen voi saada vain ne, jotka hallitsevat kahden kertotaulun."
"Mitä se tarkoittaa?" Pessi kysyi innokkaasti.
"Se tarkoittaa, että teidän on todistettava osaavanne kahden kertotaulu ennen kuin voitte viedä timantin mukananne," Mönkijäinen selitti. "Jos onnistutte, saatte pitää sen itsellänne. Lupaan sen!"
"Osaammeko me kahden kertotaulun" Minni kysyi ystäviään katsoen.
Tontut katselivat toisiaan pohtien, mikä voisi olla vastaus.
Mönkijäinen hymähti salaperäisesti. "Miettikääpä, kuinka päädyitte tämän timantin luo," hän vihjaisi. "Mikä teitä johdatti?"
Silloin Karri hoksasi ja silmät kirkastuivat. "Se oli jänis! Jänis hyppi aina joka toiselle kivelle – eli kahden kertotaulun kiville. Se johti meidät tänne, kahden kertotaulun avulla! 2, 4, 6, 8…"
Minni jatkoi: ”10, 12, 14, 16, 18 ja 20!”
"Juuri niin!" Mönkijäinen hihkaisi onnellisena ja taputti pieniä karvaisia käsiään. "Te oivalsitte kahden kertotaulun kaavan, ja siksi löysitte timantin!!
Mönkijäinen ojensi punaisen timantin juhlallisesti Karrille. "Tämä timantti on nyt teidän. Se tuo teille onnea ja auttaa teitä muistamaan kahden kertotaulun.”
Tontut kiittivät mönkijäistä, joka vilkutti hyvästiksi tontuille. "Muistakaa meidät mönkijäiset ja kertotaulun voima!" Se huikkasi ennen kuin hävisi kimaltelevan polun varjoihin.
Tontut lähtivät timantti mukanaan takaisin kohti kotia keräten samalla polun varrelta lisää timantteja kahden kertotaulua apuna käyttäen.
Päässälaskut:
- Pessi ja Karri löytävät luolan seinältä kimaltelevia sinisiä timantteja, joita on ripoteltu tasaisin välein. Pessi laskee, että kahden seinän kohdalla on kummassakin kaksi sinistä timanttia. Kuinka monta sinistä timanttia he näkevät yhteensä? (4)
- Mönkijäinen kantaa sylissään kahdeksaa punaista timanttia. Se asettelee ne neljälle kiville tasan. Kuinka monta timanttia yhdellä kivellä on? (2)
- Tontut ovat keränneet timantteja suuriin säkkeihin. Jokaisessa säkissä on 2 keltaista timanttia, ja heillä on yhteensä 10 säkkiä. Kuinka monta keltaista timanttia tontuilla on kaikissa säkeissä yhteensä? (20)
Päivä 3: Viiden kertotaulu
Seuraavana päivänä tontut palasivat innoissaan luolaan, jossa he olivat löytäneet punaisen kahden kertotaulutimantin. Nyt he näkivät ensimmäistä kertaa mönkijäiset työssään. Pienet, värikkäät otukset kantoivat selässään sädehtiviä timantteja, joita he asettelivat polulle tarkkaan harkituin välimatkoin. Mönkijäisiä oli aivan kuin timantteja kaikissa sateenkaaren sävyissä – punaisia, sinisiä, vihreitä, keltaisia ja violetteja – ja jokainen näytti työskentelevän intoa ja huolellisuutta täynnä.
"Tämä on uskomatonta!" Janni kuiskasi katsellen mönkijäisiä haltioituneena. "Ne todella ovat aivan kuin pieniä, timanttien väreissä loistavia aarteiden vartijoita."
"Katsokaa, tuolla on meidän ystävämme jänis!" Minni huudahti, osoittaen pientä harmaata jänistä, joka loikki eteenpäin kiveltä toiselle.
"Minne se on tällä kertaa menossa? Seurataan sitä!" Karri sanoi, ja tontut lähtivät jälleen jäniksen perään, joka hyppi kiveltä kivelle määrätietoisesti.
Tällä kertaa tontut huomasivat, että jänis ei loikkinutkaan kahden kertotaulun mukaisesti, vaan se hyppäsi joka viidennelle kivelle "5, 10, 15, 20…" tontut laskivat ääneen yrittäessään pysyä jäniksen vauhdissa.
"25, 30, 35, 40!" Pessi jatkoi laskemista. Tontut alkoivat oivaltaa, että luola oli täynnä kertotaulujen salaisuuksia, ja he alkoivat innostua siitä, mitä kaikkea muuta he voisivat vielä löytää.
Kun jänis viimein pysähtyi 50. kivelle, tontut henkäisivät ihastuksesta. Kiven päällä loisti suuri, kirkkaan keltainen timantti, joka sädehti kuin aurinko itse.
"Vau… se on vielä kauniimpi kuin punainen timantti!" Janni sanoi ihastuneena.
"Tämä taitaa olla viiden kertotaulutimantti," Karri arveli nostaessaan säteilevän keltaisen timantin käteensä. Sen keskellä hohti numero 5, aivan kuten edellisessä oli loistanut numero 2.
Juuri silloin heidän pieni mönkijäisystävänsä ilmestyi heidän viereensä ja virnisti ystävällisesti. "Huomaan, että olette tänään löytäneet viiden kertotaulun timantin. Mutta aivan kuten viimeksikin, timantti kuuluu vain niille, jotka osaavat viiden kertotaulun."
"Olemme valmiina haasteeseen!" Janni ilmoitti reippaasti ja astui lähemmäs mönkijäistä.
Mönkijäinen nyökkäsi hyväksyvästi. "Hyvä! Jos osaatte luetella viiden kertotaulun, tämä timantti on teidän."
Karri, Janni, Pessi ja Minni katsoivat toisiaan ja alkoivat määrätietoisesti luetella viiden kertotaulun tuloja: "5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 ja 50!"
Kun tontut pääsivät viiteenkymmeneen asti, mönkijäinen nyökkäsi tyytyväisenä. "Hienoa! Te todellakin hallitsette viiden kertotaulun. Tämä timantti kuuluu nyt teille. Luola on täynnä kertotauluja. Olkaa tarkkana, niin ehkä löydätte vielä lisää aarteita!"
Tontut kiittivät mönkijäistä ja katselivat uutta, keltaista timanttia haltioissaan. "Tämä on jo toinen kertotaulutimantti, jonka olemme löytäneet. Ehkä täällä on vielä muitakin!" Pessi innostui.
"Seuraavalla kerralla tiedämme, että jäniksen polut voivat johdattaa meidät seuraavan kertotaulun timantin luo," Karri hymyili.
Hymyillen tontut lähtivät kohti kotia, miettien, mitä muita kertotauluaarteita luola voisi vielä heille paljastaa.
Päässälaskut:
- Kolme mönkijäistä kantaa kukin selässään viittä keltaista timanttia. Kuinka monta jalokiveä mönkijäisillä on yhteensä? (15)
- Neljä tonttua kantaa kukin mukanaan omaa timanttisäkkiä. Jokainen on kerännyt säkkiin viisi timanttia. Kuinka monta timanttia heillä on yhteensä? (20)
- Tontut näkevät mönkijäisiä marssimassa jonossa. Jonoja on seitsemän. Jokaisessa jonossa kulkee viisi mönkijäistä. Kuinka monta mönkijäistä he näkevät yhteensä? (35)
Päivä 4: Kymmenen kertotaulu
Seuraavana päivänä tontut jatkoivat timanttipolun tutkimista. He katselivat, kun mönkijäiset asettelivat timantteja tarkasti kiville.
"Tämä on jännittävää! Luulisin, että olemme jälleen uuden kertotaulun äärellä," Karri sanoi hilpeästi.
"Ehkä jänis johdattaa meidät taas eteenpäin?" Pessi pohti. Samassa tuttu pieni jänis loikkikin esiin ja hypähti kiveltä toiselle. Tällä kertaa se ei hypellyt joka toiselle eikä viidennelle kivelle, vaan… joka kymmenennelle!
"10, 20, 30…" Janni laski jäniksen loikkiessa eteenpäin.
"40, 50, 60…" jatkoi Minni hengästyneenä, yrittäen pysyä jäniksen vauhdissa.
Kun he pääsivät lähemmäs luolan päätyä, jänis pysähtyi kymmenennen loikan jälkeen. Tuttuun tapaan siinä kohdassa loisti jälleen valtava, säteilevä timantti. Timantti oli niin kirkas, että se tuntui valaisevan koko luolan. Tällä kertaa timantti oli 10:n kertotaulutimantti, joka säteili punaviolettina heidän edessään.
Silloin heidän ystävänsä mönkijäinen ilmestyi luolan varjoista ja katseli tonttuja hymyillen.
"Olette oikeassa," mönkijäinen nyökkäsi tyytyväisenä. "Tämä on kymmenen kertotaulutimantti, ja se on kaikkein kirkkaimpia timantteja, mitä mönkijäiset löytävät. Vain ne, jotka osaavat kymmenen kertotaulun, saavat sen itselleen."
Tontut katsoivat toisiaan päättäväisinä. He olivat harjoitelleet ahkerasti kahden ja viiden kertotaulut, joten he varmasti selviytyisivät myös tästä haasteesta.
Päässälaskut:
- Tontut näkivät kahdeksan mönkijäistä, joista kukin kantoi sylissään kymmentä pientä timanttia. Kuinka monta timanttia mönkijäisillä oli yhteensä? (80)
- Neljä tonttua jakoivat 40 timanttia keskenään tasan. Kuinka monta timanttia kukin sai? (10)
- Yhdellä kivellä oli aseteltuna aina 10 timanttia. Pessi laski, että toisella puolella näkyi 4 kiveä ja toisella puolella käytävää 6 kiveä. Montako pientä timanttia näillä kivillä oli yhteensä? (100)
Päivä 5: Kolmen kertotaulu
Seuraavana aamuna tontut palasivat luolaan. Heidän edessään jälleen hyppelehti pieni, harmaa jänis, joka loikkasi kiveltä toiselle määrätietoisesti – tällä kertaa kuitenkin kolmen välein.
"Kolme, kuusi, yhdeksän, kaksitoista…" Karri laski ääneen yrittäen pysyä jäniksen hyppelyssä mukana.
"Mikä tämä oikein on?" Janni pohti. "Ensimmäinen kertotaulu johti meidät kahden kertotaulutimantille, toinen viiden, ja nyt…"
"Kolmen kertotaulu," Minni henkäisi, katsoen pieniä punaisia timantteja, jotka loistivat kivien päällä kirkkaasti.
Tontut jatkoivat laskemista ääneen: "15, 18, 21, 24…"
Lopulta jänis pysähtyi 10 loikan jälkeen. Tämän kiven päällä kimalteli suurin punainen timantti, jonka tontut olivat koskaan nähneet. Se hehkui lämpimästi ja täytti koko luolan kirkkaalla punaisella valolla.
"Vau… tämä on kaunein timantti, jonka olemme löytäneet," Janni sanoi ihastellen.
Juuri silloin mönkijäinen ilmestyi tonttujen viereen ja katsoi heitä silmät loistaen. "Olette löytäneet kolmen kertotaulutimantin. Se on yksi harvinaisimmista ja hehkuu voimakasta punaista valoa. Mutta kuten aina, tämä timantti kuuluu vain niille, jotka hallitsevat kolmen kertotaulun."
"Me olemme valmiina!" Pessi sanoi päättäväisesti.
Päässälaskut:
- Yhdessä tonttujen säkissä on 4 timanttia. Kuinka monta timanttia on 3 säkissä? (12)
- Karrin tavoitteena on kerätä 5 timanttia päivässä. Jos hän onnistuu tavoitteessaan, kuinka monta timanttia Karri saa kerättyä viikossa? (21)
- Janni saa yhdeltä kiveltä 5 timanttia. Hän löytää vielä 3 kiveä lisää, joilla kaikilla on sama määrä timantteja. Kuinka monta timanttia hän löytää yhteensä? (15)
Päivä 6: Kertolaskun vaihdannaisuus
Eräänä iltana tontut olivat palanneet päivän timantinetsintäretkeltään ja kokoontuneet pienen maanalaisen kotinsa pöydän ääreen ihastelemaan päivän saalista. Janni nosti esiin viisi pientä, kimaltelevaa pussia.
"Katsokaa, kuinka paljon minä sain kerättyä timantteja! Tässä on viisi pussia, ja jokaisessa pussissa on kolme timanttia”, Janni esitteli.
Karri katsoi Jannin timanttipusseja ja hymyili salaperäisesti. Lopulta hän sanoi: "No, minä löysin vielä enemmän! Minulla on kolme pussia, mutta jokaisessa on viisi timanttia. ”
Janni kurtisti kulmiaan. "Ei voi olla. Minulla on kuitenkin viisi pussia! Sinulla on vain kolme."
Karri ravisti päätään ja virnisti. "Mutta minun pusseissani on enemmän timantteja per pussi! Eli kyllä minä sain enemmän."
Tontut alkoivat pohtia kumpi heistä oli oikeassa, ja pieni kiista alkoi kuumentua. Silloin Pessi, joka oli laskenut hiljaa mielessään, huomasi jotakin kiinnostavaa ja keskeytti heidät: "Odottakaas hetki, Janni ja Karri. Katsotaanpa tätä kertolaskuna!"
Tontut jäivät kuuntelemaan tarkkaavaisesti, kun Pessi selitti:
"Janni, sinä laskit 5 pussia, ja jokaisessa pussissa on 3 timanttia, eli laskusi on 5 × 3, mikä on 15 timanttia." Janni nyökkäsi tyytyväisenä.
"Ja Karri," Pessi jatkoi, "sinulla oli 3 pussia ja jokaisessa 5 timanttia, eli laskusi on 3 × 5, mikä on myös 15 timanttia!"
Janni ja Karri katsoivat toisiaan yllättyneinä. He olivat kumpikin saaneet tismalleen saman määrän timantteja, vaikka pusseja ja timantteja pusseissa oli eri määrä.
"Se tarkoittaa, että tulos on sama, vaikka vaihdamme kertolaskussa tekijöiden järjestyksen!" Pessi selitti iloisesti. "Tämä on kertolaskun vaihdannaisuus!"
Janni ja Karri hymyilivät oivallukselle ja olivat helpottuneita – he olivat kuin olivatkin keränneet yhtä monta timanttia, ja kiistely loppui siihen. Nauraen tontut asettivat timanttipussit yhteiselle pöydälle ja jakoivat ne keskenään tasan. Sitten he päättivät käydä levolle, jokainen hieman viisaampana ja valmiina uusiin löytöihin seuraavana päivänä.
Päässälaskut:
- Tontut jakavat timantit kolmeen pinoon. Jokaisessa pinossa on 8 timanttia. Kuinka monta timanttia on yhteensä? (24)
- Jokaiselle tontulle annetaan kuusi timanttia kiillotettavaksi. Kuinka monta timanttia tarvitaan yhteensä? Tonttuja on neljä. (24)
- Yhdellä tontulla kestää hioa timantti 3 minuuttia. Tontun pitää hioa 9 timanttia. Kauanko hänellä kestää? (27 min)
