MAA5

MAA5 ratkaisut kokeeseen

a) a

$x^2+y^2+4x-2y-3=0$
$x^2+4x+4+y^2-2y+1=3+4+1$
$\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2=8$

keskipiste on
$\left(-2{,}1\right)$
ja säde
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

suoran
$y=\frac{3}{2}x-10\$
kulmakerroin on
$\frac{3}{2}$

$2x+3y+4=0$
$y=-\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}$
kulmakerroin on
$-\frac{2}{3}$

$\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-1$
kulmakertoimien tulo on -1, joten suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

$k=\frac{-3-1}{6-\left(-2\right)}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}$

$d=\frac{\left|4\cdot2+3\cdot\left(-1\right)-9\right|}{\sqrt{4^2+3^3}}=\frac{\left|-4\right|}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}$

$\left(-1+1\right)^2+\left(3-2\right)^2=1$
$0^2+1^2=1$
$1=1$ piste on ympyrän kehällä, joten pisteen kautta voi piirtää ympyrälle yhden tangentin.

2. Lasketaan kahden suoran leikkauspiste:

$\begin{cases} x+y&=1\\ 2x-y-3&=0 \end{cases}$

$x=1-y$
$2\left(1-y\right)-y-3=0$
$2-2y-y-3=0$
$-3y-1=0$
$-3y=1\ \ \ \ \parallel:\left(-3\right)$
$y=-\frac{1}{3}$
$x=\frac{4}{3}$
Leikkauspiste on $\left(\frac{4}{3}{,}-\frac{1}{3}\right)$ .
Kolmannen suoran pitää kulkea kyseisen pisteen kautta, joten

$6\cdot\frac{4}{3}-\frac{1}{3}a-7=0$
$8-\frac{1}{3}a-7=0$
$-\frac{1}{3}a+1=0$
$-\frac{1}{3}a=-1\ \ \ \parallel\cdot\left(-3\right)$
$a=3$

V: $\ a=3$ ja piste on $\left(\frac{4}{3}{,}-\frac{1}{3}\right)$

3. a)
$\left|x+1\right|=\left|2x+1\right|$
$x+1=2x+1\$ tai $x+1=-2x-1$
$x=0$ tai $3x=-2$
$x=-\frac{2}{3}$

b) Toiseen korotusta ei voi tehdä, koska molemmat puolet eivät ole ei-negat.

$-\left|x+1\right|<1\ \ \parallel\cdot\left(-1\right)$

$\left|x+1\right|>-1$

Itseisarvo on aina positiivinen, joten se on aina myös suurempaa kuin -1. Epäyhtälö on siis totta kaikilla x:n arvoilla.