7-8 Potenssi
Potenssin käsite
Johdanto
- On ilmiöitä, joissa tietty lukumäärä kertautuu säännöllisellä ja toistuvalla tavalla.
- Lasketaan peräkkäisin kertolaskuin
- Potenssimerkintä tiivistää lausekkeen, jossa luku kerrotaan itsellään.
- Ⓔ Sipulikasvin lisääntyminen
- Viljelyskasvi versoo talvehtivasta sipulista.
- Kasvi tuottaa kesän aikana viisi uutta sipulia
- Talvehtineet sipulit istutetaan aina keväällä uudestaan
- Kuinka paljon sipuleita maasta nousee neljännen kesän lopussa?
Vastaus kertolaskun avulla:
5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625
Vastaus potenssilaskun avulla:
54 = 625
Funktiolaskimen avulla - paina seuraavia neljää näppäintä:
5 yx 4 =
Videoesimerkki, kun yhdestä nuudelista tehdään 128
1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 27 = 128
This Chef Can Make 128 Noodles in 10 Seconds
Potenssimerkintä
Potenssimerkintä
- Muodostuu kantaluvusta ja exponentista
- Kantalukua kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin exponentti määrää
- Kaava: an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a (tulontekijöinä n kappaletta a)
- Missä a on kantaluku ja n on exponentti.
Ⓔ Merkitse ja laske potenssilauseke, jossa kantaluku on 5 ja exponentti on 3.
Merkitse: 53
Laske: = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125
Luvun neliö
- On luvun toinen potenssi eli exponentti on kaksi
- Viittaa neliön pinta-alan laskukaavaan A=a2
- Viittaa samalla siihen, että pinta-alan käsite vaatii kaksi ulottuvuutta, x ja y.
Ⓔ Laske luvun kuusi neliö eli korota luku kuusi toiseen potenssiin
Vastaus: 62 = 6 ⋅ 6 = 36
Luvun kuutio
- On luvun kolmas potenssi eli exponentti on kolme
- Viittaa kuution tilavuuden laskukaavaan V=a3
- Viittaa samalla siihen, että tilavuuden hahmottaminen vaatii kolme ulottuvuutta, x, y ja z.
Ⓔ Laske luvun kuusi kuutio eli korota luku kuusi kolmanteen potenssiin
Vastaus: 63 = 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 216
Negatiivinen kantaluku
- Vaatii sulkeet ympärilleen
- Muuten etumerkki ei ole osa potenssilauseketta
- Tulon merkkisääntöjen mukaan parillisilla exponenteilla potenssin arvo on positiivinen ja parittomilla negatiivinen.
| Kantaluku 3 | Potenssin arvo | Kantaluku −3 | Potenssin arvo | |
| 31 | = 3 | (−3)1 | = −3 | |
| 32 = 3 ⋅ 3 | = 9 | (−3)2 = −3 ⋅ (−3) | = 9 | |
| 33 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 | = 27 | (−3)3 = −3 ⋅ (−3) ⋅ (−3) | = −27 | |
| 34 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 | = 81 | (−3)4 = −3 ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) | = 81 |
Huom: −32 = − 3 ⋅ 3 = −9
Kantalukuna murtoluku
- Vaatii sulkeet ympärilleen
- Muuten exponentti vaikuttaa vain osoittajaan tai nimittäjään
Ⓔ Laske potenssi, kun kantaluku on 2/5 ja eksponentti on 3
- Huomaathan, että jakolasku voidaan aina tulkita murtolukuna.
Ⓔ Siksi (2 : 5)3 = 23 : 53 = 8 : 125 = 8/125
Laskujärjestys
- Sulkeiden sisällä olevat laskutoimitukset (paitsi murtoluvut)
- Potenssimerkinnät
- Kerto- ja jakolaskut (vasemmalta oikealle)
- Yhteen- ja vähennyslaskut
Kymmenpotenssimuodot
Lämmittelyä
- Osaat nyt laskujärjestyksen.
- Sievennetään seuraava lauseke, jossa 5,7 km esitetään metreinä.
5,7 km = 5,7 ⋅ 103 m = 5,7 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 m = 5 700 m - Liikuimme kolme askelta pituusyksiköissä, km → hm → dam → m
- Siksi alkuperäinen luku kerrotaan kolmesti kymmenellä
- Punaisella merkitty vaihe on luvun 5700 kymmenpotenssimuoto
- Kymmenpotenssimuotoa tarvitaan erittäin suurten (monta numeroa) tai erittäin pienten (lähellä nollaa) olevien lukujen esittämiseen ja laskutoimituksiin.
Muodostaminen - suuret luvut
- Kirjoita luvun merkitsevät numerot
- Aseta pilkku ensimmäisen numeron oikealle puolelle
- Lisää loppuun ⋅ 10n missä n on askelten määrä pilkun "oikealle paikalle"
- Ⓔ Suomen asukasluku suunnilleen 2022
5 560 000 = 5,56 ⋅ 106
Voidaan lausua: 5,56 miljoonaa
Muodostaminen - pienet luvut
- Muuten samoin kuin suuret luvut mutta eksponentissa on miinusmerkki
- ⋅ 10−1 merkitsee kymmenkertaisen sijaan kymmenesosaa
- Ⓔ Juomavedessä sallittu arseenipitoisuus
kymmenen mikrogrammaa eli 0,000 010 grammaa litraa kohden
0,000 010 g/l = 1,0 ⋅ 10−5 g/l
Voidaan lausua: kymmenen gramman miljoonasosaa
Yhteenveto
| 1 ⋅ 103 = 1 ⋅ 1000 = 1000 |
| 1 ⋅ 102 = 1 ⋅ 100 = 100 |
| 1 ⋅ 101 = 1 ⋅ 10 = 10 |
| 1 ⋅ 100 = 1 ⋅ 1 = 1 Huom! |
| 1 ⋅ 10−1 = 1 : 10 = 0,1 |
| 1 ⋅ 10−2 = 1 : 100 = 0,01 |
| 1 ⋅ 10−3 = 1 : 1000 = 0,001 |
Huom! Minkä tahansa luvun nollas potenssi on 1. Siksi 1 ⋅ 100 ei ole aito kymmenpotenssimuoto.
Harjoittelua
Suomessa tuotetaan vuosittain 7,5 ⋅ 107 kg ruisviljaa. Yhteen rekkaan mahtuu 4 ⋅ 104 kg. Montako rekkaa tarvitaan?