Valtakunnalliset valinnaiset opinnot

MAB8 Matemaattinen analyysi 2 op.

Opintojakso koostuu moduulista MAB8
Opintojakso arvioidaan numeroarvioinnilla

tutkii funktion muutosnopeutta graafisin ja numeerisin menetelmin
ymmärtää derivaatan tulkinnan funktion muutosnopeutena
osaa tutkia polynomifunktion kulkua derivaatan avulla
osaa määrittää sovellusten yhteydessä polynomifunktion suurimman ja pienimmän arvon
osaa käyttää ohjelmistoja funktion kulun tutkimisessa sekä funktion derivaatan ja suljetun välin ääriarvojen määrittämisessä sovellusten yhteydessä.

graafisia ja numeerisia menetelmiä
polynomifunktion derivaatta
polynomifunktion merkin ja kulun tutkiminen
polynomifunktion suurimman ja pienimmän arvon määrittäminen suljetulla välillä
ääriarvoprobleemoiden ratkaiseminen ja tulosten arviointi
funktion muutosnopeuden määrittäminen sekä laskemalla että ohjelmistoja käyttäen

Funktion muutosnopeus. Keskimääräinen ja hetkellinen muutosnopeus: polynomifunktion kuvaajalle piirretyn sekantin ja tangentin kulmakertoimen laskeminen kahden pisteen avulla likimääräisesti kuvaajasta. Keskimääräisen muutosnopeuden laskeminen lausekkeen avulla. Funktion kasvavuuden ja vähenevyyden havainnointi kuvaajasta.
Derivaatta: derivaatan yhteys muutosnopeuteen ja tangenttiin, polynomifunktion derivointi sekä derivaatan arvon laskeminen. Käytännön maksimointi- ja minimointiongelmia mm. geometrian ja talouden aloilta.

oppii piirtämään funktion kuvaajalle sekantin ja määrittämään funktion keskimääräisen muutosnopeuden
oppii piirtämään funktion kuvaajalle tangentin ja määrittämään funktion muutosnopeuden (graafinen derivointi) sekä havainnoimaan funktion kasvavuutta graafisesti (kuvaajalle piirretyn tangentin avulla)
harjaantuu sujuvaan lausekkeiden käsittelyyn (sieventämiseen ja arvon laskemiseen)
osaa derivoida funktion ja laskea derivaatan arvon sekä ratkaista nollakohdat symbolisesti
osaa selvittää derivaattafunktion merkin kuvaajan perusteella.

Vuorovaikutusosaaminen: Opetustilanteissa rakennetaan positiivinen, avoin ja kannustava ilmapiiri tukemaan jokaista opiskelijaa ja auttamaan heitä saavuttamaan omia tavoitteita. Opiskelijoita kannustetaan myös tehtävätyyppien ja tehtävänantojen avulla keskusteluun keskenään, omien ratkaisumenetelmien esittämiseen ja oman ajattelun sanoittamiseen sekä yhteistyöhön, yhdessä tutkimiseen ja oppimiseen.
Monitieteinen ja luova osaaminen: Opintojen aikana tutustutaan erilaisiin tiedonhankinnan ja -esittämisen tapoihin digiajassa, ja matematiikan kannalta olennaisten monilukutaidon osa-alueiden (sanallinen, numeerinen, symbolinen, kuvallinen) hallintaa syvennetään tavoitteellisesti. Samalla opiskelija oppii arvioimaan matemaattisesti esitetyn tiedon luotettavuutta ja sovellusaloja.

Opintojakso koostuu moduulista MAB9
Opintojakso arvioidaan numeroarvioinnilla

tutustuu normaalijakaumaan matemaattisena mallina
tutustuu binomijakaumaan matemaattisena mallina
vahvistaa ja monipuolistaa tilastojen käsittely- ja tutkimustaitojaan ohjelmistojen avulla
tietää, kuinka lasketaan tilastollisiin jakaumiin liittyviä tunnuslukuja ja todennäköisyyksiä, ja osaa määrittää ne ohjelmistojen avulla
ymmärtää luottamusvälin ja virhemarginaalin käsitteen ja osaa määrittää ne ohjelmistojen avulla.

normaalijakauma ja jakauman normittamisen käsitteet (odotusarvo ja keskihajonta)
toistokoe
binomijakauma
luottamusvälin ja virhemarginaalin käsite

Opintojaksolla vahvistetaan MAB5-opintojakson sisältöjen hallintaa: todennäköisyyslaskennan periaatteita (erityisesti todennäköisyyden laskusäännöt binomitodennäköisyyden yhteydessä) sekä tilastojen käsittelytaitoja. Opintojaksossa voidaan keskittyä MAB5-opintojakson sisältöjen vahvistamiseen ja täydentämiseen tai painottaa keskeisiä uusia malleja.
Binomijakauma. Toistokoe ja binomitodennäköisyyden laskukaavan tunteminen. Binomijakauma, odotusarvo ja keskihajonta. Kertymätodennäköisyys.
Normaalijakauma. Jakauman perusominaisuuksien tunteminen ja normaalijakauma-mallin käyttö sovelluksissa. Kertymätodennäköisyys ja kertymäfunktio. Normittaminen ja kahden normaalijakauman vertailu. Normitettu normaalijakauma ja luottamusvälin käsite, kriittiset arvot. Binomijakauman yhteys normaalijakaumaan esimerkinomaisesti tarkastellen.
Tilastollinen päättely. Käsitellään tiedotusvälineissä esille tulevaa ajankohtaista tilastollista informaatiota. Perusjoukko, jonka tunnuslukuja (keskiarvoa ja suhteellista osuutta) arvioidaan otoksesta laskettujen tunnuslukujen avulla muodostamalla luottamusväli. Keskiarvon keskivirheen laskeminen. Luottamustaso ja sen vaikutus luottamusväliin. Virhemarginaali. Luottamusvälin muodostamisen perusperiaate. Teoreettiset perustelut luottamusvälin muodostamiselle (otoksen keskiarvo ja prosenttiosuus ovat likimain normaalijakautuneita) voidaan sivuuttaa.

vahvistaa moduulissa MAB5 hankkimiaan tilastojen käsittelyyn ja kuvaamiseen liittyviä taitojaan: tunnuslukujen laskemista ja todennäköisyyksien määrittämistä
osaa laskea kombinaatioita (binomitodennäköisyys)
oppii esittämään binomijakauman graafisesti sekä määrittämään jakauman tunnusluvut (odotusarvon ja keskihajonnan)
oppii piirtämään normaalijakaumakuvaajia - oppii määrittämään binomijakaumaan ja normaalijakaumaan liittyviä todennäköisyyksiä sekä ratkaisemaan käänteisen tilanteen
oppii ratkaisemaan normaalijakauman tuntemattoman odotusarvon tai keskihajonnan symbolisesti tilanteissa, jotka eivät edellytä jakauman normittamista
tuntee luottamusvälin määrittämisessä tarvittavat suureet ja osaa määrittää ne sekä luottamusvälin.

Monitieteinen ja luova osaaminen: Opintojen aikana tutustutaan erilaisiin tiedonhankinnan ja -esittämisen tapoihin digiajassa, ja matematiikan kannalta olennaisten monilukutaidon osa-alueiden (sanallinen, numeerinen, symbolinen, kuvallinen) hallintaa syvennetään tavoitteellisesti. Samalla opiskelija oppii arvioimaan matemaattisesti esitetyn tiedon luotettavuutta ja sovellusaloja.
Yhteiskunnallinen osaaminen: Opetus tukee opiskelijan yritteliäisyyttä sekä opettaa työn loppuunsaattamisen merkityksen. Opiskeluun luodaan yritteliäs ilmapiiri, joka antaa vapauksia, mutta kannustaa vastuunottoon.
Vuorovaikutusosaaminen: Opetustilanteissa rakennetaan positiivinen, avoin ja kannustava ilmapiiri tukemaan jokaista opiskelijaa ja auttamaan heitä saavuttamaan omia tavoitteita. Opiskelijoita kannustetaan myös tehtävätyyppien ja tehtävänantojen avulla keskusteluun keskenään, omien ratkaisumenetelmien esittämiseen ja oman ajattelun sanoittamiseen sekä yhteistyöhön, yhdessä tutkimiseen ja oppimiseen.
Eettisyys ja ympäristöosaaminen: Opetustilanteissa pohditaan, kuinka matematiikan taitoja voidaan hyödyntää kestävään kehitykseen ja ihmiskuntaan liittyvien ongelmien ratkaisussa.