Pakolliset opinnot

MAB2 Lausekkeet ja yhtälöt 2 op.

Opintojakso koostuu moduulista MAB2
Opintojakso arvioidaan numeroarvioinnilla


Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

  • harjaantuu käyttämään matematiikkaa ongelmien ratkaisemisessa ja oppii luottamaan omiin matemaattisiin kykyihinsä
  • oppii muodostaan lausekkeita ja yhtälöitä annettuihin ongelmiin sekä ratkaisemaan yhtälöitä ja tulkitsemaan saatua ratkaisua
  • osaa soveltaa lukujonoja ja niistä muodostettuja summia matemaattisten ongelmien ratkaisussa
  • osaa käyttää ohjelmistoja polynomifunktion tutkimisessa, polynomiyhtälöihin ja polynomifunktioihin liittyvien sovellusten yhteydessä

  • Opintojakso koostuu moduulista MaB2
    Opintojakso arvioidaan numeroarvioinnilla

Keskeiset sisällöt

  • ongelmien muotoileminen yhtälöiksi
  • yhtälöiden ratkaiseminen
  • ratkaisujen tulkinta ja arvioiminen
  • toisen asteen polynomifunktio ja toisen asteen yhtälön ratkaiseminen
  • aritmeettinen lukujono ja summa
  • geometrinen lukujono ja summa

Tarkennuksia sisältöihin

  • Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälön ratkaiseminen. Yhtälöparin ratkaiseminen. Soveltavan tehtävän ratkaiseminen. Yhtälön muodostaminen ja ratkaiseminen sekä vastauksen mielekäs tarkkuus, tulkinta ja arviointi. Reaalimaailman ilmiöiden ja muotojen kuvaaminen ensimmäisen ja toisen asteen polynomin avulla.
  • Lukujonon merkitsemisessä käytetyt merkinnät. Tarkastelun painopiste on aritmeettisissa ja geometrisessa lukujonossa: jonotyypin tunnistaminen, differenssin tai suhdeluvun laskeminen ja yleisen jäsenen muodostaminen. Pyydetyn jäsenen laskeminen yleisen jäsenen avulla. Sen tutkiminen, onko annettu luku jonon jäsen tai kuinka mones jäsen. Aritmeettisen ja geometrisen summan laskeminen summakaavalla. Epäyhtälötarkastelut voidaan tehdä esim. taulukkolaskenta-ohjelmassa lukujonon jäseniä luettelemalla.

Ohjelmistotaidot

  • harjaantuu sähköiseen vastaamiseen matematiikassa (esim. kaavaeditorin käyttö)
  • oppii tallentamaan funktion sekä laskemaan funktion arvoja 
  • oppii sieventämään polynomilausekkeita sekä jakamaan polynomeja tekijöihin
  • oppii piirtämään funktion kuvaajan sekä muuttamaan koordinaatiston asetuksia tilanteeseen sopiviksi
  • oppii tutkimaan funktion kuvaajaa: havainnoimaan funktion arvoa, merkkiä, nollakohtia sekä muita leikkauspisteitä 
  • osaa ratkaista yhtälöitä ja yhtälöpareja graafisesti ja symbolisesti; osaa määrittää ratkaisulle tarkan arvon ja likiarvon
  • oppii tutkimaan, esim. liukusäätimen avulla, miten ensimmäisen ja toisen asteen polynomifunktion kertoimet vaikuttavat funktion kuvaajaan
  • oppii hyödyntämään taulukkolaskentaohjelmaa lukujonojen ja summien tarkastelussa: aritmeettisen ja geometrisen lukujonon tuottaminen täyttökahvan avulla, summan laskeminen sekä lukujonon kuvaaminen koordinaatistossa
  • harjoittelee sähköistä vastaamista.
  • harjaantuu sujuvaan laskinohjelmien käyttöön peruslaskutoimitusten yhteydessä (tarkka arvo ja likiarvo)

Laaja-alainen osaaminen

  • Hyvinvointiosaaminen: Opiskelijaa ohjataan tavoitteellisesti tunnistamaan ja hyödyntämään omia vahvuuksiaan ja toisaalta kehittämiskohteitaan sekä huomaamaan, että menestyksellinen matematiikan opiskelu vaatii pitkäjänteistä työntekoa ja sinnikkyyttä. Opetuksessa tuetaan epävarmuuden sietokykyä ja vahvistetaan luottamusta, jolloin opiskelija oppii arvioimaan myös omia voimavarojaan ja suunnittelemaan ajankäyttöä.
  • Vuorovaikutusosaaminen: Opetustilanteissa rakennetaan positiivinen, avoin ja kannustava ilmapiiri tukemaan jokaista opiskelijaa ja auttamaan heitä saavuttamaan omia tavoitteita.
  • Monitieteinen ja luova osaaminen: Opetuksessa rohkaistaan opiskelijaa tarkastelemaan ongelmia uudella tavalla, yhdistelemään asioita sekä soveltamaan matematiikan menetelmiä eri oppiaineissa. Monitieteellinen lähestymistapa voi motivoida oppimaan uutta ja innostaa uteliaisuuteen sekä merkityksien etsimiseen. 
 

MAB3 Geometria 2 op.

Opintojakso koostuu moduulista MAB3
Opintojakso arvioidaan numeroarvioinnilla


Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

  • harjaantuu tekemään havaintoja ja päätelmiä kuvioiden ja kappaleiden geometrisista ominaisuuksista
  • vahvistaa tasokuvioiden ja kolmiulotteisten kappaleiden kuvien piirtämisen taitojaan
  • osaa ratkaista käytännön ongelmia geometriaa hyväksi käyttäen
  • osaa käyttää ohjelmistoja kuvioiden ja kappaleiden tutkimisessa sekä geometriaan liittyvien sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt

  • kuvioiden yhdenmuotoisuus
  • suorakulmaisen kolmion trigonometria
  • Pythagoraan lause ja Pythagoraan lauseen käänteislause
  • kuvioiden ja kappaleiden pinta-alan ja tilavuuden määrittäminen
  • geometrian menetelmien käyttö tasokoordinaatistossa

Tarkennuksia sisältöihin

  • Yhdenmuotoisuus ja mittakaava. Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen ja yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde. Kolmioiden kk-yhdenmuotoisuuslause. Käytännön ongelmien ratkaisu.
  • Kulmiin liittyviä nimityksiä. Kuvioiden ominaisuuksia: piiri, korkeusjana, lävistäjä, pinta-ala. 
  • Suorakulmainen kolmio. Pythagoraan lause ja terävän kulman sini, kosini ja tangentti. 
  • Kolmiot ja muut monikulmiot. Tasakylkinen ja -sivuinen kolmio. Suunnikkaan ominaisuudet. 
  • Ympyrä. Kehän, kaaren ja jänteen pituus. Ympyrän, sektorin ja segmentin pinta-ala. Kehäkulmalause. Ympyrän tangentti. 
  • Kappaleiden ominaisuuksia: pohjan ja vaipan pinta-ala, tilavuus. Suoraan särmiöön, ympyrälieriöön, ympyräkartioon, pyramidiin ja palloon liittyviä laskuja. Kappaleen tasolevitykset (esim. ympyräkartion vaippa muodostaa ympyräsektorin).
  • Tason koordinaatisto. Piste, jana, janan keskipiste ja pituus. Monikulmioiden piirin, pinta-alan ja kulmien laskeminen.

Ohjelmistotaidot

  • tutustuu yksinkertaisten mallikuvien piirtämiseen geometriaohjelmalla ja yo-kokeen A-osan ohjelmistoilla
  • oppii tutkimaan kuvioiden ominaisuuksia ja säännönmukaisuuksia dynaamisen geometrian ohjelmalla (esim. kehäkulmalause)
  • osaa ratkaista toisen ja kolmannen asteen potenssiyhtälön ja ilmoittaa ratkaisulle tarkan arvon ja likiarvon
  • oppii laskemaan sinin, kosinin ja tangentin arvoja sekä ratkaista terävän kulman (likiarvot)
  • harjaantuu laskinohjelmiston hyödyntämiseen geometrian ongelmien ratkaisemisessa: laskemisessa, sieventämisessä ja yhtälönratkaisussa
  • tutustuu ongelman ratkaisemiseen konstruoimalla kuvion tai kappaleen ja määrittämällä kulman, pituuden, pinta-alan tai muun mitan hyödyntämällä ohjelmistoa.

Laaja-alainen osaaminen

  • Yhteiskunnallinen osaaminen: Opiskeluun luodaan yritteliäs ilmapiiri, joka antaa vapauksia, mutta kannustaa vastuunottoon.
  • Globaali- ja kulttuuriosaaminen: Läpi matematiikan opintojen opiskelijaa autetaan hahmottamaan, että matematiikan avulla voidaan jäsentää ja ratkaista globaaleja ongelmia.
  • Monitieteinen ja luova osaaminen: Opetuksessa rohkaistaan opiskelijaa tarkastelemaan ongelmia uudella tavalla, yhdistelemään asioita sekä soveltamaan matematiikan menetelmiä. Tutustutaan erilaisiin tiedonhankinnan ja -esittämisen tapoihin ja syvennetään tavoitteellisesti matematiikan kannalta olennaisten monilukutaidon osa-alueiden (sanallinen, numeerinen, symbolinen, kuvallinen) hallintaa. 

MAB4 Matemaattisia malleja 2 op.

Opintojakso koostuu moduulista MAB4
Opintojakso arvioidaan numeroarvioinnilla


Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

  • näkee reaalimaailman ilmiöissä säännönmukaisuuksia ja riippuvuuksia ja kuvaa niitä matemaattisilla malleilla
  • arvioi lineaarisen ja eksponentiaalisen kasvun malleja muun muassa taulukkolaskentaohjelman avulla ja tekee ennusteita mallien avulla
  • tottuu arvioimaan mallien hyvyyttä ja käyttökelpoisuutta
  • osaa käyttää ohjelmistoja mallintamisessa, polynomi- ja eksponenttifunktion ominaisuuksien tutkimisessa sekä polynomi- ja eksponenttiyhtälöiden ratkaisussa sovellusten yhteydessä.
     

Keskeiset sisällöt 

  • lineaarisen ja eksponentiaalisen mallin soveltaminen
  • eksponenttiyhtälön ratkaiseminen
  • ennusteet ja mallin hyvyys

Tarkennuksia sisältöihin

  • Matemaattisen mallintamisen periaate. Käytännön tilanteeseen liittyvän ongelman jäsentäminen ja ilmiöön liittyvien muuttujien ja niiden välisten yhteyksien hahmottaminen. Matemaattisen mallin muodostaminen. Saadun mallin arvioiminen ja ongelman ratkaisu ja mielekäs tarkkuus, tulosten tulkinta ja arviointi. Opintojaksossa käsitellään monipuolisesti käytännön tilanteita. 
  • Lineaarinen malli. Suoran kulmakerroin ja suoran yhtälön muodostaminen, suorien yhdensuuntaisuus ja kohtisuoruus.
  • Eksponentiaalinen malli ja kuvaajatyypit. Eksponentiaalisen kasvamisen ja vähenemisen kuvaaminen ja puoliintumisaika. Parametrien ratkaiseminen, yleinen potenssiyhtälö ja yleinen juuri. Epäyhtälötarkastelut voidaan tehdä ohjelmistolla esimerkiksi ratkaisemalla vastaava yhtälö ja tarkastelemalla mallin kasvavuutta/vähenevyyttä. Lineaarisen ja eksponentiaalisen mallin vertailu. Logaritmi ei kuulu opintojakson sisältöihin, mutta se voidaan käsitellä ajan salliessa.

Ohjelmistotaidot

  • osaa tutkia funktion parametrien vaikutuksia funktion ominaisuuksiin esim. liukusäätimen avulla
  • oppii ratkaisemaan eksponenttiyhtälön ja yleisen potenssiyhtälön (likiarvo)
  • oppii hyödyntämään taulukkolaskentaohjelmaa lineaarisen ja eksponentiaalisen kasvun mallien tarkasteluun
  • oppii sovittamaan polynomifunktion ja eksponenttifunktion annettuun pistejoukkoon (sovellustehtävissä)
  • oppii soveltamaan saamaansa mallia laskemalla funktion arvon, kun muuttujan arvo tunnetaan ja muuttujan arvon, kun funktion arvo tunnetaan.

Laaja-alainen osaaminen

  • Yhteiskunnallinen osaaminen: Opetuksessa tutkitaan arkielämän ja matematiikan välisiä yhteyksiä, sekä pohditaan, kuinka matematiikan taitoja voidaan hyödyntää yhteiskunnallisessa päätöksenteossa. 
  • Eettisyys ja ympäristöosaaminen sekä globaali- ja kulttuuriosaaminen: Opiskelijaa autetaan hahmottamaan, että lineaarista ja eksponentiaalista mallia voidaan käyttää myös globaalien ongelmien mallintamisessa, jäsentämisessä ja ratkaisemisessa.
  • Monitieteinen ja luova osaaminen: Opetuksessa rohkaistaan opiskelijaa tarkastelemaan ongelmia uudella tavalla, yhdistelemään asioita sekä soveltamaan matematiikan menetelmiä eri oppiaineissa. Monitieteellinen lähestymistapa voi motivoida oppimaan uutta ja innostaa uteliaisuuteen sekä merkityksien etsimiseen. 

MAB5 Tilastot ja todennäköisyys 2 op.

Opintojakso koostuu moduulista MAB5
Opintojakso arvioidaan numeroarvioinnilla


Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

  • harjaantuu käsittelemään, havainnollistamaan ja tulkitsemaan tilastollisia aineistoja
  • perehtyy todennäköisyyslaskennan perusteisiin ja sitä havainnollistaviin malleihin
  • osaa käyttää ohjelmistoja digitaalisessa muodossa olevan datan hakemisessa, käsittelyssä ja tutkimisessa sekä havaintoaineiston tunnuslukujen määrittämisessä ja todennäköisyyslaskennassa.

Keskeiset sisällöt

  • tilastoaineiston havainnollistaminen ja tunnuslukujen määrittäminen
  • regression ja korrelaation käsitteet
  • havainto ja poikkeava havainto
  • ennusteiden tekeminen
  • todennäköisyyden käsite
  • yhteen- ja kertolaskusääntö
  • kombinaatiot ja tuloperiaate
  • todennäköisyyslaskennan malleja

Tarkennuksia sisältöihin

  • Tilastoaineiston käsittely. Perusjoukko ja otos. Tutustutaan sekä diskreetteihin että jatkuviin tilastollisiin muuttujiin. Luokittelu: luokkarajat, todelliset luokkarajat, luokkakeskus (tasaväliset luokat). Frekvenssitaulukot ja tilastollinen todennäköisyys. Tilastolliset tunnusluvut: vaihteluväli, keskiluvut (moodi, mediaani, keskiarvo) ja keskihajonta (otoskeskihajonta). Tunnuslukujen laskentaperiaatteen ymmärtäminen. 
  • Tilaston havainnollistaminen. Tilaston kuvaamiseen sopivimman kaaviotyypin valinta. Kaavion tulkitseminen. 
  • Tilastollinen riippuvuus. Selittävä ja selitettävä muuttuja, hajontakuvio, lineaarisen riippuvuuden havainnoiminen hajontakuviosta. Regressiosuora ja korrelaatiokerroin. Ennusteiden tekeminen muodostetun regressiomallin avulla. Ennusteen arvioiminen.
  • Poikkeava havainto. Ymmärrys, että poikkeavilla arvoilla voi olla merkittävästi vääristävä vaikutus tilastollisiin tunnuslukuihin.
  • Todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskennan mallit: klassinen, geometrinen ja tilastollinen todennäköisyys. Alkeistapausten laskemismenetelmiä (tuloperiaate ja kombinaatiot). Tapahtumien kertolaskusääntö ja yhteenlaskusääntö sekä komplementtisääntö.

Ohjelmistotaidot

  • harjaantuu taulukkolaskentaohjelman sujuvaan käyttöön, mm. soluviittaukset, lajittelu/järjestäminen ja suodatus (eli oleellisen informaation erottaminen)
  • harjaantuu tilastollisen aineiston sujuvaan käsittelyyn: oppii tiivistämään tietoa taulukoimalla ja määrittämään tunnuslukuja sekä havainnollistamaan tilastoja erilaisilla kaavioilla
  • oppii piirtämään hajontakuvion, sovittamaan regressiosuoran sekä määrittämään korrelaatiokertoimen
  • tutustuu ajankohtaisen tilastotiedon etsimiseen ja lataamiseen eri verkkolähteistä sekä tiedon käsittelyyn, kuvaamiseen ja analysoimiseen
  • oppii laskemaan kombinaatioita
  • tutustuu todennäköisyyden olemukseen esim. simuloimalla nopanheittoa.

Laaja-alainen osaaminen

  • Yhteiskunnallinen osaaminen: Opetuksessa voidaan käydä läpi, kuinka tilastoja hyödynnetään yhteiskunnallisessa päätöksenteossa.
  • Eettisyys ja ympäristöosaaminen: opiskelijaa autetaan hahmottamaan, että matematiikan avulla voidaan jäsentää ja ratkaista globaaleja ongelmia.

MAB6 Talousmatematiikka 2 op.

Opintojakso koostuu moduuleista

  • MAB6 Talousmatematiikan alkeet 1 op.
  • MAB7 Talousmatematiikka 1op.
Opintojaksoon kuuluvat moduulit arvioidaan
  • MAB6 numeroarvioinnilla
  • MAB7 numeroarvioinnilla


Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

  • hallitsee talousmatematiikan peruskäsitteet ja -taidot
  • syventää prosenttilaskennan taitojaan
  • oppii kuvaamaan talouselämän asioiden kehittymistä
  • osaa käyttää tietolähteitä ja ohjelmistoja laskelmien tekemisessä sovellusten yhteydessä.
  • oppii hyödyntämään matemaattisia valmiuksiaan resurssien riittävyyteen, talouden suunnitteluun, yrittäjyyteen ja kannattavuuden laskentaan
  • soveltaa lukujonojen kaavoja talouteen liittyvissä matemaattisissa ongelmissa
  • oppii sovittamaan taloudellisiin tilanteisiin matemaattisia malleja ja ymmärtää niiden rajoitukset
  • osaa hyödyntää ohjelmistoja laskelmien tekemisessä ja sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt

  • suhteellinen osuus, vertailu, muutoksen laskeminen
  • indeksi
  • korkokäsite, yksinkertainen korko
  • verotus
  • valuutat
  • aritmeettinen ja geometrinen lukujono ja niiden summat
  • korkolaskut: koron korko, nykyarvo ja diskonttaus
  • talletukset ja lainat
  • taloudellisiin tilanteisiin soveltuvia matemaattisia malleja, joissa hyödynnetään lukujonoja ja summia

Tarkennuksia sisältöihin

  • Prosenttilaskenta. Syvennetään opintojaksossa MAY1 opittuja prosenttilaskennan. Talousmatematiikan peruskäsitteet.
  • Indeksit. Yksinkertaisen indeksisarjan muodostaminen ja indeksien käyttö. Eriaikaisten rahasummien vertailu. 
  • Korkolaskenta. Koron käsite ja yksinkertainen korkolaskenta. Korkoaika ja korkokausi. Talletukset ja lähdevero. 
  • Verotus ja valuutat. Ansiotuloverotuksen perusperiaatteet: valtion tulovero, verotaulukot ja veron progressiivisuus, kunnallisvero. Brutto- ja nettotulo. Arvonlisäverotus. Valuuttamuunnokset.
  • Lukujonojen sovellusten tarkastelu.
  •  Korkolaskenta. Koronkorkolaskussa tutustutaan yleisiin käytäntöihin korkoaikojen laskemisessa ja tulosten pyöristämisessä. Koronkorko- ja diskonttausmenetelmä: kasvanut pääoma, eriaikaisten maksujen nykyarvo.
  • Lainoihin liittyvät peruskäsitteet. Eri lainamuodot ja takaisinmaksu-periaatteet sekä lainan hoito.  Eri lainamuotojen vertailu

Ohjelmistotaidot

  • oppii muodostamaan indeksisarjan ja kuvaamaan sitä taulukkolaskentaohjelmalla (viivakaavio)
  • osaa ratkaista potenssiyhtälön (esim. keskimääräisen vuotuisen hinnanmuutoksen ratkaiseminen)
  • tutustuu talouden tietojen (esim. verotaulukoiden, valuuttakurssien ja indeksien) etsimiseen eri verkkolähteistä.
  • osaa hyödyntää symbolista laskentaa talousmatematiikan laskuissa ja yhtälönratkaisussa (esim. annuiteettilainan yhteydessä)
  • harjaantuu käsittelemään lukujonoja: esim. tallentamaan lukujonon funktiona f(n), laskemaan lukujonon jäseniä ja ratkaisemaan yhtälöitä
  • oppii tekemään lainalaskelmia (esim. taulukkolaskentaohjelmassa)
  • tutustuu esim. verkosta löytyvien laskureiden (esim. hiilijalanjälki) laskentaperiaatteisiin.

Laaja-alainen osaaminen

  • Yhteiskunnallinen osaaminen: Opetuksessa voidaan tarkastella taloutta sekä yksilön, että yhteiskunnan näkökulmista. 
  • Hyvinvointiosaaminen: Opiskelijaa autetaan hahmottamaan, mikä on matematiikan merkitys omassa taloudenhallinnassa.
  • Globaali- ja kulttuuriosaaminen: Opiskelijaa autetaan hahmottamaan, että matematiikan avulla voidaan jäsentää
    ja ratkaista globaaleja talousongelmia.