Funktion kuvaaja
Funktion [[$P$]] kuvaaja [[$xy$]]-tasossa on niiden lukuparien [[$(x,y)$]] muodostama joukko, jotka toteuttavat yhtälön [[$$y=P(x)$$]]
Muuttujan [[$x$]] arvoa vastaava muuttujan [[$y$]] arvo saadaan sijoittamalla muuttujan [[$x$]] arvo polynomin lausekkeeseen muuttujan [[$x$]] paikalle. Kuvaajaa voi luonnostella laskemalla yksittäisten pisteiden koordinaatteja muuttujan [[$x$]] eri arvoilla.
Siirtele pistettä X tai käynnistä animaatio "play"-painikkeesta.
Ensimmäisen asteen polynomin [[$P(x)=ax+b$]] kuvaajaa vastaa yhtälö
Tällaisen yhtälön kuvaaja on aina suora. Kerroin [[$a$]] vaikuttaa suoran jyrkkyyteen ja vakiotermi [[$b$]] ilmaisee missä kohdassa suora leikkaa [[$y$]]-akselin. Jos muuttujan kerroin [[$a$]], eli suoran kulmakerroin on positiivinen, suora on nouseva ja kertoimen [[$a$]] ollessa negatiivinen suora on laskeva. Jos [[$a$]] olisi nolla, ei kyseessä olisi enää ensimmäisen asteen polynomifunktio, vaan vakiofunktio.
Kohdat, joissa funktion kuvaaja [[$y=f(x)$]] leikkaa [[$x$]]-akselin ovat funktion nollakohtia. Leikkauspisteissä [[$y$]]-koordinaatti saa arvon nolla, eli funktion arvo on nolla. Nollakohdassa on siis voimassa [[$ax+b=0.$]]
Funktion nollakohdat voidaan ratkaista graafisesti kuvaajaa tulkitsemalla, tai algebrallisesti laskemalla yhtälölle [[$ax+b=0$]] ratkaisu.
Kuvan esimerkissä suora [[$y=3x+2$]] leikkaa [[$x$]]-akselin kohdassa [[$x=-\frac{2}{3}$]], eli pisteessä [[$(-\frac{2}{3},0)$]]. Kuvaajasta nähdään, että kun [[$x=-\frac{2}{3}$]], niin [[$3x+2=0$]]
Sanotaan, että funktion [[$P(x)=3x+2$]] nollakohta on [[$x=-\frac{2}{3}$]]. Asia voidaan tarkistaa laskemalla polynomin arvo kohdassa [[$x=-\frac{2}{3}$]]:
[[$P(-\frac{2}{3})=3\cdot (-\frac{2}{3})+2=-2+2=0$]].
Muuttujan [[$x$]] arvoa vastaava muuttujan [[$y$]] arvo saadaan sijoittamalla muuttujan [[$x$]] arvo polynomin lausekkeeseen muuttujan [[$x$]] paikalle. Kuvaajaa voi luonnostella laskemalla yksittäisten pisteiden koordinaatteja muuttujan [[$x$]] eri arvoilla.
Esimerkki 1
Hahmottele funktion [[$P(x)=3x-4$]] kuvaaja laskemalla muutama kuvaajan piste taulukkoon.| [[$$x$$]] | [[$$y=3x-4$$]] | [[$$(x,y)$$]] |
|---|---|---|
| [[$0$]] | [[$3\cdot 0-4=-4$]] | [[$(0,-4)$]] |
| [[$2$]] | [[$3\cdot 2-4=2$]] | [[$(2,2)$]] |
| [[$4$]] | [[$3\cdot 4-4=8$]] | [[$(4,8)$]] |
Siirtele pistettä X tai käynnistä animaatio "play"-painikkeesta.
Suoran yhtälö
Ensimmäisen asteen polynomin [[$P(x)=ax+b$]] kuvaajaa vastaa yhtälö
[[$$y=ax+b$$]]
Tällaisen yhtälön kuvaaja on aina suora. Kerroin [[$a$]] vaikuttaa suoran jyrkkyyteen ja vakiotermi [[$b$]] ilmaisee missä kohdassa suora leikkaa [[$y$]]-akselin. Jos muuttujan kerroin [[$a$]], eli suoran kulmakerroin on positiivinen, suora on nouseva ja kertoimen [[$a$]] ollessa negatiivinen suora on laskeva. Jos [[$a$]] olisi nolla, ei kyseessä olisi enää ensimmäisen asteen polynomifunktio, vaan vakiofunktio.
Nollakohdat
Kohdat, joissa funktion kuvaaja [[$y=f(x)$]] leikkaa [[$x$]]-akselin ovat funktion nollakohtia. Leikkauspisteissä [[$y$]]-koordinaatti saa arvon nolla, eli funktion arvo on nolla. Nollakohdassa on siis voimassa [[$ax+b=0.$]] Funktion nollakohdat voidaan ratkaista graafisesti kuvaajaa tulkitsemalla, tai algebrallisesti laskemalla yhtälölle [[$ax+b=0$]] ratkaisu.
Kuvan esimerkissä suora [[$y=3x+2$]] leikkaa [[$x$]]-akselin kohdassa [[$x=-\frac{2}{3}$]], eli pisteessä [[$(-\frac{2}{3},0)$]]. Kuvaajasta nähdään, että kun [[$x=-\frac{2}{3}$]], niin [[$3x+2=0$]]
Sanotaan, että funktion [[$P(x)=3x+2$]] nollakohta on [[$x=-\frac{2}{3}$]]. Asia voidaan tarkistaa laskemalla polynomin arvo kohdassa [[$x=-\frac{2}{3}$]]:
[[$P(-\frac{2}{3})=3\cdot (-\frac{2}{3})+2=-2+2=0$]].