Esimerkin 3 ratkaisu
Virvoitusjuomaa kaadetaan pakastimessa jäähdytettyyn lasiin, jonka lämpötila on -18 °C. Lasin lämpökapasiteetti on 130 J/K. Virvoitusjuoman alkulämpötila on 12 °C, massa 180 g ja ominaislämpökapasiteetti sama kuin vedellä. Mihin loppulämpötilaan systeemi päätyy, mikäli se oletetaan eristetyksi?
Ratkaisu
Merkitään loppulämpötilaa [[$T$]].
Juoma luovuttaa jäähtyessään lämmön [[$ Q_\text{j}=cm\Delta T_\text{j} $]]. Ominaislämpökapasiteetti on [[$ c=4 \,190 \, \dfrac{\text{J}}{\text{kg °C}} $]] ja massa [[$ m=0{,}18\text{ kg} $]]
Juoman lämpötilan muutos [[$ \Delta T_\text{j} $]] lasketaan positiivisena lukuna vähentämällä juoman alkulämpötilasta loppulämpötila:
[[$ \quad \Delta T_\text{j} = T_\text{j}-T $]]
Lasi lämpenee ja vastaanottaa lämmön [[$ Q_\text{l}=C\Delta T_\text{l} $]]. Lämpökapasiteetti on [[$ C=130\text{ J/°C} $]].
Lasin lämpötilan muutos [[$ \Delta T_l $]] lasketaan positiivisena lukuna vähentämällä loppulämpötilasta lasin alkulämpötila [[$ T_\text{l}=-18\text{ °C} $]]: [[$ \Delta T_\text{l} = T-T_\text{l} $]].
Systeemi on eristetty, joten osien veden luovuttama lämpö on yhtä suuri kuin lasin vastaanottama. Kirjoitetaan tämä yhtälönä ja ratkaistaan loppulämpötila:
[[$ \begin{align}Q_j&=Q_l \\ \,\\ cm \Delta T_j&=C\Delta T_l\\ \,\\ cm\left(T_\text{j}-T\right)&=C\left(T-T_\text{l}\right)\\ \,\\ \quad cmT_\text{j}-cmT&=CT-CT_\text{l}\\ \,\\ cmT_\text{j}+CT_\text{l}&=CT+cmT\\ \,\\ cmT_\text{j}+CT_\text{l}&=\left(C+cm\right)T &||:\left(C+cm\right)\\ \,\\ T&=\dfrac{cmT_\text{j}+CT_\text{l}}{C+cm} \\ \,\\ T&=\dfrac{4 \,190 \, \dfrac{\text{J}}{\text{kg °C}}\cdot 0{,}18 \text{ kg}\cdot 12\text{ °C}+130\text{ J/°C}\cdot \left(-18\text{ °C}\right) }{4 \,190 \, \dfrac {\text{J}}{\text{kg °C}}\cdot 0{,}18\text{ kg}+130\text{ J/°C}}\\ \,\\ T&= 7{,}58\dots \text{°C}\approx 7{,}6\text{ °C} \end{align} $]]
Systeemin loppulämpötila on noin 7,6 celsiusastetta.
Vaihtoehtoinen ratkaisutapa
Lasi ja virvoitusjuoma muodostavat eristetyn systeemin. Lämpöä siirtyy vain lasin ja juoman välillä. Lämpöä siirtyy juomasta lasiin, kunnes lasin ja juoman lämpötilat ovat samat.
[[$\quad Q_{\text{lasi}}+Q_{\text{juoma}}=0$]]
Lasin lämpömäärä: [[$Q_\text{l}=C\Delta T_\text{l}$]]
Lasin lämpötilan muutos: [[$\Delta T=T-T_\text{l}$]], missä [[$T$]] on systeemin loppulämpötila ja [[$T_\text{l}$]] lasin alkulämpötila.
Virvoitusjuoman lämpömäärä: [[$Q_\text{j}=cm\Delta T_\text{j}$]]
Virvoitusjuoman lämpötilan muutos: [[$\Delta T_\text{j}=T-T_\text{j}$]], missä [[$T$]] on systeemin loppulämpötila ja [[$T_\text{j}$]] juoman alkulämpötila.
[[$ \begin{align} C\Delta T_\text{l}+cm\Delta T_\text{j}&=0 \\ \, \\\quad C\left(T-T_\text{l}\right)+cm\left(T-T_\text{j}\right)&=0\end{align} $]]
Ratkaistaan systeemin loppulämpötilalle lauseke esimerkiksi CAS-laskimella.
[[$\quad T=\dfrac{CT_\text{l}+cmT_\text{j}}{C+cm}$]]
Lähtöarvot:
[[$\begin{align*} C&=130\ \mathrm{\dfrac{J}{^{\circ}C}}\\ T_l&=-18 \ \mathrm{^{\circ}C}\\ c&=4\, 190 \ \mathrm{\dfrac{J}{kg\ ^{\circ}C}}\\ m&=0{,}180 \ \mathrm{kg}\\ T_j&=12 \ \mathrm{^{\circ}C}\end{align*}$]]
Systeemin loppulämpötila: [[$T=7{,}58923\text{ °C}\approx 7{,}6\text{ °C}$]]
