Esimerkkien ratkaisut

Esimerkin 1 ratkaisu

Kiukaan kivien lämpökapasiteetti on 14 000 J/°C. Kiukaan lämmitysteho on 4,5 kW.

Kuinka paljon energiaa vaatii kivien lämmitys 140 °C:n lämpötilaan? Kivien alkulämpötila on 15 °C.
Kuinka kauan lämmitys kestää? Oletetaan, että 75 % kiukaan tehosta menee kivien lämmittämiseen.

Ratkaisu

a) Kivet vastaanottavat lämmön [[$ Q=C\Delta T $]], jossa lämpökapasiteetti on [[$C= 14\,000\text{ J/°C}$]]. Lämpötilan muutos lasketaan vähentämällä loppulämpötilasta alkulämpötila. [[$ \Delta T =140 \text{ °C}-15\text{ °C}=125\text{ °C} $]]

[[$ \begin{align} \quad Q&=C\Delta T \\ \, \\ &= 14 \, 000 \dfrac {\text{J}}{\text{°C}} \cdot 125\text{°C} \\\, \\ &= 1 \, 750 \, 000 \text{ J} \approx 1{,}8\text{ MJ} \end{align} $]]

b) Kiviä lämmittävä teho on [[$ P = 0{,}75 \cdot 4 \, 500 \text{ W} $]].

A-kohdassa laskettu lämpö siirtyy kiviin ajassa [[$t$]] teholla [[$P$]], joten

[[$ P=\dfrac {Q}{t} $]]

Ratkaistaan aika:

[[$ \begin{align*} \quad P&=\dfrac {Q}{t} &||\cdot t \\ \, \\ Pt&=Q &||:P \\ \, \\ t&=\dfrac {Q}{P} \\\, \\ t&=\dfrac {1 \, 750 \, 000 \text{ J}}{0{,}75 \cdot 4 \,500 \text { W}}= 518{,}5 \dots \text{s}\approx 8{,}6\text{ min} \end{align*} $]]

Vastaus:
a) Kivien lämmitys vaatii noin 1,8 megajoulea energiaa.
b) Kiukaan lämmitys kestää noin 8,6 minuuttia.

Takaisin

Esimerkin 2 ratkaisu

Kuinka paljon energiaa vaatii, että 2,5 litraa vettä lämmitetään huoneenlämpöisestä (20,0 °C) kiehuvaksi?
Jos yhtä paljon energiaa siirtyisi 2,5 kilogrammaan rautanauloja, kuinka paljon niiden lämpötila muuttuisi?

Ratkaisu

a. Vesi vastaanottaa lämmön [[$ Q=cm\Delta T $]].

Veden ominaislämpökapasiteetti on [[$ c=4 \,190 \,\frac {\text{J}}{\text{kg °C}} $]].

1 vesilitran massa on 1 kg, joten massa on [[$ m=2{,}5\text{ kg} $]]

Lämpötilan muutos lasketaan positiivisena vähentämällä loppulämpötilasta alkulämpötila. [[$ \Delta T =100\text{ °C}-20\text{ °C}=80\text{ °C} $]]

Vaadittava lämpö:

[[$ \begin{align} \quad Q&=cm\Delta T \\\, \\ &= 4\,190\,\dfrac {\text{J}}{\text{kg °C}} \cdot 2{,}5 \text{ kg}\cdot 80\text{ °C} \\\, \\ &= 838 \, 000 \text{ J} \approx 840\text{ kJ}\end{align} $]]

b. Raudan ominaislämpökapasiteetti on [[$ c=450 \, \dfrac{\text{J}}{\text{kg °C}} $]].

Rautanauloihin siirtyy a-kohdassa ratkaistu lämpö. Naulojen massa [[$m = 2{,}5\text{ kg}$]]. Ratkaistaan lämmön kaavasta lämpötilan muutos.

[[$ \begin{align} Q&=cm \Delta T \text{ }||:(cm)\\ \, \\ \quad \Delta T&=\dfrac {Q}{cm} \\ \, \\ \Delta T&= \dfrac {838 \, 000\text{ J}}{450 \,\dfrac {\text{J}}{\text{kg °C}}\cdot 2{,}5 \text{ kg}} \\ \, \\ &=744{,}8\dots\text{ °C}\approx 740\text{ °C}\end{align} $]]

Huomataan, että lämpötila on raudan sulamispistettä alhaisempi, eli naulat eivät sula.

Vastaus: a) Veden lämmitys vaatii noin 8,4 kilojoulea energiaa.
b) Sama energiamäärä muuttaisi rautanaulojen lämpötilaa noin 740 celsiusastetta.

Takaisin

Esimerkin 3 ratkaisu

Virvoitusjuomaa kaadetaan pakastimessa jäähdytettyyn lasiin, jonka lämpötila on -18 °C. Lasin lämpökapasiteetti on 130 J/K. Virvoitusjuoman alkulämpötila on 12 °C, massa 180 g ja ominaislämpökapasiteetti sama kuin vedellä. Mihin loppulämpötilaan systeemi päätyy, mikäli se oletetaan eristetyksi?

Ratkaisu

Merkitään loppulämpötilaa [[$T$]].

Juoma luovuttaa jäähtyessään lämmön [[$ Q_\text{j}=cm\Delta T_\text{j} $]]. Ominaislämpökapasiteetti on [[$ c=4 \,190 \, \dfrac{\text{J}}{\text{kg °C}} $]] ja massa [[$ m=0{,}18\text{ kg} $]]

Juoman lämpötilan muutos [[$ \Delta T_\text{j} $]] lasketaan positiivisena lukuna vähentämällä juoman alkulämpötilasta loppulämpötila:

[[$ \quad \Delta T_\text{j} = T_\text{j}-T $]]

Lasi lämpenee ja vastaanottaa lämmön [[$ Q_\text{l}=C\Delta T_\text{l} $]]. Lämpökapasiteetti on [[$ C=130\text{ J/°C} $]].

Lasin lämpötilan muutos [[$ \Delta T_l $]] lasketaan positiivisena lukuna vähentämällä loppulämpötilasta lasin alkulämpötila [[$ T_\text{l}=-18\text{ °C} $]]: [[$ \Delta T_\text{l} = T-T_\text{l} $]].

Systeemi on eristetty, joten osien veden luovuttama lämpö on yhtä suuri kuin lasin vastaanottama. Kirjoitetaan tämä yhtälönä ja ratkaistaan loppulämpötila:

[[$ \begin{align}Q_j&=Q_l \\ \,\\ cm \Delta T_j&=C\Delta T_l\\ \,\\ cm\left(T_\text{j}-T\right)&=C\left(T-T_\text{l}\right)\\ \,\\ \quad cmT_\text{j}-cmT&=CT-CT_\text{l}\\ \,\\ cmT_\text{j}+CT_\text{l}&=CT+cmT\\ \,\\ cmT_\text{j}+CT_\text{l}&=\left(C+cm\right)T &||:\left(C+cm\right)\\ \,\\ T&=\dfrac{cmT_\text{j}+CT_\text{l}}{C+cm} \\ \,\\ T&=\dfrac{4 \,190 \, \dfrac{\text{J}}{\text{kg °C}}\cdot 0{,}18 \text{ kg}\cdot 12\text{ °C}+130\text{ J/°C}\cdot \left(-18\text{ °C}\right) }{4 \,190 \, \dfrac {\text{J}}{\text{kg °C}}\cdot 0{,}18\text{ kg}+130\text{ J/°C}}\\ \,\\ T&= 7{,}58\dots \text{°C}\approx 7{,}6\text{ °C} \end{align} $]]

Systeemin loppulämpötila on noin 7,6 celsiusastetta.

Vaihtoehtoinen ratkaisutapa

Lasi ja virvoitusjuoma muodostavat eristetyn systeemin. Lämpöä siirtyy vain lasin ja juoman välillä. Lämpöä siirtyy juomasta lasiin, kunnes lasin ja juoman lämpötilat ovat samat.

[[$\quad Q_{\text{lasi}}+Q_{\text{juoma}}=0$]]

Lasin lämpömäärä: [[$Q_\text{l}=C\Delta T_\text{l}$]]

Lasin lämpötilan muutos: [[$\Delta T=T-T_\text{l}$]], missä [[$T$]] on systeemin loppulämpötila ja [[$T_\text{l}$]] lasin alkulämpötila.

Virvoitusjuoman lämpömäärä: [[$Q_\text{j}=cm\Delta T_\text{j}$]]

Virvoitusjuoman lämpötilan muutos: [[$\Delta T_\text{j}=T-T_\text{j}$]], missä [[$T$]] on systeemin loppulämpötila ja [[$T_\text{j}$]] juoman alkulämpötila.

[[$ \begin{align} C\Delta T_\text{l}+cm\Delta T_\text{j}&=0 \\ \, \\\quad C\left(T-T_\text{l}\right)+cm\left(T-T_\text{j}\right)&=0\end{align} $]]

Ratkaistaan systeemin loppulämpötilalle lauseke esimerkiksi CAS-laskimella.

[[$\quad T=\dfrac{CT_\text{l}+cmT_\text{j}}{C+cm}$]]

Lähtöarvot:

[[$\begin{align*} C&=130\ \mathrm{\dfrac{J}{^{\circ}C}}\\ T_l&=-18 \ \mathrm{^{\circ}C}\\ c&=4\, 190 \ \mathrm{\dfrac{J}{kg\ ^{\circ}C}}\\ m&=0{,}180 \ \mathrm{kg}\\ T_j&=12 \ \mathrm{^{\circ}C}\end{align*}$]]

Systeemin loppulämpötila: [[$T=7{,}58923\text{ °C}\approx 7{,}6\text{ °C}$]]

Takaisin

Esimerkin 4 ratkaisu

Alumiininen punnus on lämpimässä vesihauteessa. Punnus siirretään eristettyyn astiaan, jossa on 350 g vettä. Kuvaajissa lämpötila 2 on lämpöhauteen ja lämpötila 1 eristetyn astian lämpötila.

Millä hetkellä punnus siirrettiin?
Määritä kuvaajien perusteella punnuksen massa.

Ratkaisu

a. Lämmin punnus alkaa siirtämisen jälkeen luovuttaa lämpöä eristetyn astian vedelle. Eristetyn astian veden lämpötila alkaa kasvaa hetkellä 48 s, eli punnus siirrettiin silloin.

b. Punnus luovuttaa lämpöä eristetyn astian vedelle. Astian lämpökapasiteetti oletetaan hyvin pieneksi, joten siihen ei siirry lämpöä.

Alumiinipunnuksen luovuttama lämpö on [[$ Q_a=c_a m_a\Delta T_a $]]. Massa [[$ m_a$]] on tuntematon.
Alumiinin ominaislämpökapasiteetti on [[$ c_a=900 \text{ }\frac {\text{J}}{\text{kg}\cdot^\circ \text{C}} $]].
Punnuksen alkulämpötila nähdään vesihauteen kuvaajasta 48 sekunnin kohdalta, jolloin se on 60,5 °C. Loppulämpötila on 29,0 °C, joten lämpötilan muutos (positiivisena lukuna) on siis [[$ \Delta T_m = \text{60,5 } ^\circ \text{C}- \text{29,0 }^\circ \text{C}= \text{31,5 }^\circ \text{C} $]].

Vesi vastaanottaa lämmön [[$ Q_v=c_vm_v\Delta T_v $]].
Veden massa on [[$ m= \text{0,35 kg} $]].
Veden ominaislämpökapasiteetti on [[$ c=4 \,190 \text{ }\frac {\text{J}}{\text{kg}\cdot^\circ \text{C}} $]].
Veden lämpötilan muutos nähdään kuvaajasta. Hetkellä 48 s lämpötila on [[$ \text{27,2 } ^\circ \text{C} $]] ja alkaa kasvaa punnuksen vaikutuksesta. Lämpötilan kasvu lakkaa ennen mittauksen loppua, jolloin punnus ja vesi ovat lämpötasapainossa. Tällöin lämpötila on [[$ \text{29,0 } ^\circ \text{C} $]]. Veden lämpötilan muutos on siis [[$ \Delta T_v = \text{29,0 } ^\circ \text{C}- \text{27,2 }^\circ \text{C}= \text{1,8 }^\circ \text{C} $]].

Systeemi oletetaan eristetyksi, joten punnuksen luovuttama lämpö on yhtä suuri kuin veden vastaanottamatta lämpö. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan punnuksen massa.

[[$ \begin{align} Q_a&=Q_v\\ \, \\ \quad c_a m_a \Delta T_a&=c_v m_v \Delta T_v &||:(c_m \Delta T_m)\\\, \\ m_m&=\dfrac{c_v m_v \Delta T_v}{c_a \Delta T_a}\\\, \\ m_m&=\dfrac{4 \,190 \text{ }\frac {\text{J}}{\text{kg}\cdot^\circ \text{C}}\cdot \text{0,35 kg} \cdot \text{1,8 } ^\circ \text{C}}{900 \text{ }\frac {\text{J}}{\text{kg}\cdot^\circ \text{C}}\cdot \text{31,5 } ^\circ \text{C}}\\\, \\ m_m&= \text{0,09311} \dots \text{ kg} \approx 93 \text{ g} \end{align} $]]

Punnuksen massa on noin 93 grammaa.

Takaisin