3.2 Induktiolaki
Silmukkaan indusoituva jännite
Tarkastellaan tilannetta, jossa magneettikentässä olevan johdinsilmukan yksi sivu liukuu muihin nähden.
Liikkuvaan [[$l$]]:n pituiseen johdinsauvaan indusoituu jännite, jonka suuruus on [[$ e=lvB $]]. Johdinsilmukka muodostaa suljetun lenkin, joten jännite synnyttää siihen induktiovirran. Ajassa [[$ \Delta t $]] johdin etenee matkan [[$ \Delta x $]]. Sauvan nopeus on siis [[$ \Delta x / \Delta t $]]. Esitetään seuraavaksi induktiojännite siten, että se ilmaistaan sauvaan liittyvien suureiden sijaan silmukkaan liittyvien suureiden avulla.
[[$ \qquad\begin{align} e&=lvB \\ \, \\ e&=l \dfrac {\Delta x}{\Delta t} B\end{align}$]]
Sauvan pituus [[$l$]] ja siirtymä [[$\Delta x$]] ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. Ne rajaavat pinta-alan, joka on yhtä suuri kuin silmukan rajaaman pinta-alan muutos.
[[$\qquad\begin{align}e&=\dfrac{l\cdot\Delta x}{\Delta t}B\\ \ \\ e&=\dfrac{\Delta A}{\Delta t}B\\ \ \\ e&= \dfrac {\Delta(BA)}{\Delta t} \end{align}$]]
Silmukan induktiojännite riippuu tämän tarkastelun mukaan suureen [[$BA$]] muutosnopeudesta. Tämä suure on nimeltään magneettivuo [[$ \Phi $]]. Magneettivuo on magneettivuon tiheyden ja pinta-alan tulo, eli se ilmentää tietyn pinnan läpäisevien kenttäviivojen lukumäärää.
| Suure, tunnus | Merkitys | Yksikkö |
|---|---|---|
| Magneettivuo, [[$ \Phi $]] |
Magneettikentän suuruutta kuvaava suure rajatulla alueella "tietyn pinnan läpäisevien kenttäviivojen lukumäärä" |
Weber, Wb |
| Magneettivuon tiheys, [[$ B $]] |
Magneettikentän suuruutta kuvaava suure tietyssä pisteessä "kenttäviivojen tiheys eli kenttäviivojen lukumäärä jaettuna pinta-alalla" |
Tesla, T 1 T = 1 Wb/m² |
Silmukkaan indusoituvalla jännitteellä tarkoitetaan induktion kykyä luoda silmukkaan sähkövirtaa. Jännite on aina kahden pisteen välinen ja termi silmukkaan indusoitunut jännite voi siten tulla helposti ymmärrettyä väärin. Jännite [[$e$]] ilmenee, jos silmukan katkaisee tietystä kohtaa ja mittaa katkaisukohdan eri puolten välistä jännitettä. Jokaisella todellisella silmukalla on aina jokin resistanssi [[$R$]], ja tällöin silmukkaan indusoituu virta [[$I=\dfrac{e}{R}$]] Ohmin lain mukaisesti.
Tuloksen mukaan induktiojännite riippuu vain magneettivuon muutosnopeudesta. Tämä viittaa siihen, että johdinsilmukkaan syntyy induktiovirta kaikissa tilanteissa, joissa sen läpäisevän magneettikentän vuontiheys muuttuu, tai joissa sen kentälle kohtisuora pinta-ala muuttuu. Muutoksen ei tarvitse johtua silmukan osan liikkeestä, vaikka tulokseen päädyttiinkin sitä kautta. Tämä on myös vahvistettu kokeellisesti.
Lenzin laki selittää induktion suunnan
Edellisessä tilanteessa, jossa induktio aiheutui johdinsilmukan yhden tankomaisen sivun liikkeestä, induktiovirran suunnan pystyy päättelemään oikean käden säännöllä tarkastelemalla tangossa olevia elektroneja ja niihin tangon liikkuessa kohdistuvaa voimaa. Usein induktiovirran suunnan päättely tätä kautta on kuitenkin kovin hankalaa. Tarkastellaan oheisen videon tilannetta, jossa havaitaan sauvamagneetin synnyttämä induktioilmiö alumiinirenkaassa.
Alumiini ei ole magneettinen materiaali, vaan vuorovaikutus aiheutuu renkaaseen syntyvästä sähkövirrasta. Kun magneettia tuodaan rengasta kohti tai viedään siitä poispäin, renkaan läpi kulkeva magneetin magneettivuo muuttuu. Voi ajatella, että renkaan läpi kulkee sitä enemmän kenttäviivoja, mitä lähempänä rengasta magneetti on. Tämä magneettivuon muutos indusoi renkaaseen sähkövirran. Jos rengas korvataan käämillä, virta saadaan mitattua.
Kun renkaassa kulkee sähkövirta, sen ympärille muodostuu magneettikenttä. Kenttä on oikean käden säännön mukaisesti vastaava kuin sauvamagneetilla, eli renkaalle muodostuu magneettiset pohjois- ja eteläkohtiot. Tämän vuoksi rengas joko hylkii magneettia tai vetää sitä puoleensa.
Induktiovirran suunta on periaatteessa mahdollista päätellä tarkastelemalla silmukan ja magneetin suhteellista liikettä ja silmukan elektroneihin kohdistuvaa voimaa, mutta se on helpompaa Lenzin lain avulla. Sen mukaan induktion vaikutus on aina sellainen, että se pyrkii pienentämään induktion aiheuttanutta muutosta. Tarkastellaan kuvan mukaista tilannetta, jossa magneetti lähestyy rengasta pohjoiskohtio edellä. Tällöin renkaan läpäisevä magneetin magneettikenttä [[$ \bar B $]] voimistuu. Induktiovirran suunnan tulee olla sellainen, että syntyvä kenttä [[$ {\bar B}_{\text {ind}} $]] vastustaa kentän voimistumista. Se on siis vastakkaissuuntainen, kuvassa vasemmalta oikealle. Vastakkaissuuntaiset kentät hylkivät toisiaan, ja rengas pyrkii vastustamaan magneetin lähestymistä ja heilahtaa poispäin. Lopuksi voidaan vielä päätellä induktiovirran [[$ I $]] suunta renkaassa virran oikean käden säännön mukaisesti. Jotta indusoitunut magneettikenttä olisi renkaan sisällä vasemmalta oikealle, virran täytyy kulkea renkaassa kuvan mukaisesti, oikealta katsottuna vastapäivään.
Lenzin laki voidaan perustella energian säilymisen avulla. Mikäli sähkövirran suunta olisi päinvastainen, rengas vetäisi magneettia puoleensa, renkaan läpi kulkevan magneettivuon muutos voimistuisi ja induktiovirta kasvaisi kiihtyvällä tahdilla. Tällöin kyseessä olisi ikiliikkuja, joka luo energiaa tyhjästä.
Tarkastellaan toisena esimerkkinä tilannetta, jossa sama sauvamagneetti liikkuu poispäin renkaasta. Sauvamagneetin kenttä on edelleen kohti rengasta. Kenttä heikkenee, joten Lenzin lain mukaisesti indusoituva kenttä pyrkii kumoamaan tämän muutoksen ja vahvistamaan kenttää. Indusoitunut kenttä on siis samansuuntainen sauvamagneetin kentän kanssa. Samansuuntaiset kentät vetävät toisiaan puoleensa, ja rengas pyrkii vastustamaan magneetin etääntymistä ja heilahtaa kohti magneettia. Induktiovirran suunta voidaan päätellä jälleen virran oikean käden säännön avulla. Virta on kuvan mukaisesti oikealta katsottuna myötäpäivään.
Lenzin laki
"Induktion vaikutukset ovat sellaiset, että ne pyrkivät vastustamaan muutosta, joka induktion aiheuttaa."
Lain soveltaminen johdinsilmukan tapauksessa
- Päättele johdinsilmukan lävistävän ulkoisen kentän suunta.
- Päättele, voimistuuko vai heikkeneekö ulkoinen kenttä.
- Indusoituva kenttä on Lenzin lain nojalla ulkoisen kentän muutokselle vastakkainen. Mikäli ulkoinen kenttä voimistuu, indusoitunut kenttä on vastakkaissuuntainen. Mikäli ulkoinen kenttä heikentyy, indusoitunut kenttä on samansuuntainen.
- Silmukkaan indusoituvan virran suunta päätellään oikean käden säännön mukaisesti, kun sen aiheuttama indusoituva kenttä tunnetaan.
Induktiolaki
Silmukkaan indusoitunut jännite ja Lenzin laki yhdistetään induktiolaiksi eli Faradayn laiksi.
[[$\qquad e=-\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$]]
Jännitteen negatiivinen etumerkki ilmentää Lenzin lakia. Se muistuttaa, että silmukkaan indusoituvan virran muodostama magneettikenttä vastustaa induktion aiheuttanutta ulkoisen magneettivuon muutosta. Jos kyseessä on silmukan sijaan käämi, jossa on [[$N$]] kierrosta, induktiolaki saa muodon:
[[$ \qquad e=-N\dfrac {\Delta \Phi}{\Delta t} $]]
Magneettivuon muutos voi johtua eri syistä. Magneettivuon tiheys voi muuttua, kuten sauvamagneetin liikkuessa kohti tai poispäin renkaasta. Vastaavasti silmukka voi liikkua magneettikentässä kohtaan, jossa magneettivuon tiheys on pienempi tai suurempi. Myös silmukan koko eli pinta-ala voi muuttua, kuten luvun aluksi tarkastellussa tilanteessa. Pinta-ala tarkoittaa kentälle kohtisuoraa pinta-alaa, joten myös silmukan kääntyminen kentässä indusoi siihen jännitteen. Videolla näet esimerkkejä näistä tilanteista.
Induktiolaki (Faradayn laki)
Kun [[$N$]]-kierroksisen johdinsilmukan lävistävä magneettivuo [[$ \Phi $]] muuttuu, siihen indusoituu jännite
[[$ \qquad e=-N\dfrac {\Delta \Phi}{\Delta t} $]].- Magneettivuo on magneettivuon tiheyden [[$B$]] ja sille kohtisuoran poikkipinta-alan tulo: [[$ \Phi =BA $]].
- Johtimeen syntyvän sähkövirran suunta kuvaillaan Lenzin lailla. Induktiolaissa miinusmerkki ilmaisee induktion suuntaa: indusoitunut sähkövirta luo magneettikentän, joka pyrkii pienentämään magneettikentän muutosta.
- Magneettivuon hetkellinen muutosnopeus [[$ \dfrac {\Delta \Phi}{\Delta t} $]] lasketaan magneettivuon derivaattana ajan suhteen.
Esimerkkitilanne: Käämiin indusoituva jännite muuttuvassa magneettikentässä
Induktiojännite voidaan mitata käämin päiden väliltä. Induktiolain mukaan käämiin indusoituva jännite riippuu käämin kierrosten määrästä ja käämin läpäisevän magneettivuon muutosnopeudesta seuraavasti: [[$ e=-N\dfrac {\Delta \Phi}{\Delta t} $]]. Magneettivuo taas riippuu käämin kentälle kohtisuorasta pinta-alasta ja magneettivuon tiheydestä: [[$ \Phi=BA $]]. Induktiolaki ilmenee tilanteessa, jossa käämi sijoitetaan muuttuvaan magneettikenttään ja mitataan käämin jännitettä. Alla olevalla videolla kahden kenttäkäämin (halkaisijat n. 15 cm) väliin on sijoitettu pienempi käämi. Kenttäkäämien sähkövirtaa muutetaan, jolloin magneettivuon tiheys niiden välillä muuttuu kuvaajan mukaisesti. Videolla havaitaan pienemmän käämin asennon sekä muuttuvan magneettikentän taajuuden vaikutus induktiojännitteeseen.
Aluksi havaitaan, että käämiin indusoituu jännite vain, kun magneettivuon tiheys muuttuu. Sitä muutetaan säätämällä kenttäkäämeissä kulkevaa sähkövirtaa.
Kahdessa seuraavassa tilanteessa kenttäkäämit on kytketty vaihtojännitteeseen, eli niissä kulkeva virta vaihtaa suuntaansa säännöllisesti tietyllä taajuudella. Näin ollen niiden välissä oleva magneettikenttä vaihtelee myös, ja muutokset indusoivat kentässä olevaan käämiin jännitteen. Ensin videolla tarkastellaan käämin asennon vaikutusta siihen indusoituvaan jännitteeseen. Havaitaan, että jännite on suurimmillaan, kun käämin akseli on kentän suuntainen. Tällöin kentälle kohtisuora pinta-ala on suurimmillaan, joten myös magneettivuo [[$ \Phi=BA $]] on suurin. Kun käämi on kentässä poikittain, sen läpäisevä magneettivuo on nolla, eikä induktiota synny, vaikka magneettivuon tiheys vaihtelee.
Seuraavassa tilanteessa käämi on paikallaan jatkuvasti muuttuvassa magneettikentässä. Pinta-alan ollessa vakio induktiolaki voidaan kirjoittaa muotoon [[$ e=-NA\dfrac {\Delta B}{\Delta t} $]]. Käämin päiden välillä mitattu induktiojännite riippuu magneettivuon tiheyden muutosnopeudesta. Tilanteessa kenttä vuoroin voimistuu, vuoroin heikkenee. Induktiojännitteen suunta (etumerkki) vaihtelee tämän mukaisesti. Kentän muutos on tasaista, eli vuontiheys on nouseva tai laskeva suora. Muutosnopeus [[$ \dfrac{\Delta B}{\Delta t} $]] lasketaan kuvaajan kulmakertoimena. Kun taajuutta kasvatetaan, kulmakerroin suurenee. Alla on esitetty jännitteen [[$ e $]] ja kulmakertoimen [[$ \dfrac {\Delta B}{\Delta t} $]] määritys kahdella mitatulla ajanhetkellä.
Kuten induktiolaki ennustaa, mitatut jännitteet ja kulmakertoimet ovat likimäärin suoraan verrannolliset:
[[$ \qquad \dfrac{e_2}{\frac{\Delta B_2}{\Delta t_2}}=\dfrac{0{,}22 \text{ V}}{17{,}7 \text{ mT/s}} \approx \dfrac{1{,}018 \text{ V}}{80{,}2 \text{ mT/s}}=\dfrac{e_1}{\frac{\Delta B_1}{\Delta t_1}} $]]
Induktiolain mukainen ennuste jännitteelle voidaan laskea olettaen käämin pinta-ala ympyräksi, jonka säde on 2,3 cm. Lasketaan jännite hetkellä 0,6 s.
[[$\qquad \begin{align} e&=-NA\frac {\Delta B}{\Delta t} \\ \, \\ &=-12\ 000\cdot \pi \cdot \left(0{,}023 \text{ m}\right)^2\cdot 0{,}0177 \text{ T/s}\approx -0{,}35 \text{ V} \end{align} $]]
Mitatun jännitteen eri etumerkki liittyy jännitemittarin mittaussuuntaan. Ero mitatun ([[$ 0{,}22 \text{ V} $]]) ja lasketun jännitteen ([[$ -0{,}35 \text{ V} $]]) välillä johtuu magneettikenttäanturin asemasta suhteessa käämiin. Anturin kohdalla kenttä on kymmeniä prosentteja voimakkaampi kuin käämin kohdalla kenttäkäämien puolessavälissä.
Pysähdy pohtimaan
Esimerkkejä
Esimerkki 1
Sauvamagneetti pudotettiin käämin läpi. Käämiin kytketty jänniteanturi mittasi oheisen kuvaajan mukaisen jännitteen.
- Selitä havaittu jännite ja kuvaajan muoto.
- Miten kuvaaja poikkeaisi mitatusta, jos magneetti pudotettaisiin toinen pää edellä?
- Miten kuvaaja poikkeaisi mitatusta, jos magneetti pudotettaisiin korkeammalta?
Esimerkki 2
Led-lamppu vaatii 1,4 V:n jännitteen palaakseen. Lampun navat on kytketty yhteen rautalangalla, joka muodostaa 3,8 cm:n säteisen ympyrän. Rautalanka on homogeenisessa magneettikentässä, jonka magneettivuon tiheys on 1,2 mT.
- Kuinka pitkäksi aikaa lamppu saadaan palamaan pienennettäessä magneettivuon tiheys nollaan?
- Entä jos rautalankaa olisi 100 kierrosta?
Esimerkki 3
Magneettivuo käämin läpi muuttuu oheisen kuvaajan mukaisesti. Muutoksen aikana käämissä mitataan suurimmillaan 0,88 voltin jännite. Määritä kuvaajaa tai taulukoitua mittausdataa hyödyntäen käämin kierrosten lukumäärä.
Aineisto:
Taulukko: magneettivuo_kaamin_lapi.ods (LibreCalc)
Taulukko: magneettivuo_kaamin_lapi.cmbl (Logger Pro)
Taulukko: magneettivuo_kaamin_lapi.cap (Capstone)
Taulukko: magneettivuo_kaamin_lapi.gambl (Graphical Analysis)
