Seuraava esimerkki havainnollistaa hiukkasen ominaisuuksien kvantittumista. Tarkastellaan hiukkasta tyhjässä avaruudessa, joka on rajattu laatikoksi. Hiukkanen pääsee liikkumaan laatikon sisällä vapaasti, mutta ei sieltä ulos. Tilanne voisi olla approksimaatio elektronille puolijohdemateriaalissa, joka on rajattu ympäriltä eristeellä. Käytännössä malli on hyvin karkea sovellettavaksi.

Vaikka hiukkasen tila ratkaistaan kvanttimekaniikassa Schrödingerin yhtälön avulla, tällaisessa yksinkertaisessa tilanteessa Schrödingerin yhtälöä ei tarvita, koska ratkaisut voidaan päätellä. Laatikon sisällä hiukkanen käyttäytyy kuin tyhjässä avaruudessa: se on häiritsemätön aalto. Jos hiukkanen ei pääse laatikosta ulos, aallon täytyy "päättyä" laatikon reunaan. Tilanne on samankaltainen kuin seisova aaltoliike, joka syntyy molemmista päistä kiinnitettyyn naruun. Näin ollen, jos laatikon leveys on [[$L$]], laatikkoon on mahduttava kokonainen määrä puolikkaita aaltoja. Laatikko ja neljä pisintä mahdollista aallonpituutta on havainnollistettu oikealla olevassa kuvassa. Aallot kuvaavat hiukkasen mahdollisia tiloja laatikossa.

---

Laatikon leveyden [[$L$]] on siis oltava kokonaisluku kertaa puolikas aallonpituus:

[[$ \quad L=n\dfrac{\lambda}{2} \Rightarrow \lambda=\dfrac{2L}{n}$]]

Sijoittamalla aallonpituuden lauseke hiukkasen de Broglien aallonpituuteen [[$\lambda=\frac{h}{p}$]] saadaan yhtälö

[[$\quad \dfrac{2L}{n}=\dfrac{h}{p} \Rightarrow p=\dfrac{nh}{2L}$]]

Liikemäärän ja liike-energian välinen yhteys on

[[$\quad E_\text{k}=\dfrac{p^2}{2m}$]]

Energialle saadaan lauseke

[[$\quad E_\text{k}=\dfrac{\left(\dfrac{nh}{2L}\right)^2}{2m}= n^2\dfrac{h^2}{8L^2m}$]]

Lausekkeesta ilmenee, että energian täytyy olla energiatilan järjestysluvun [[$n=1,2,3,\ldots$]] neliö kertaa [[$\dfrac{h^2}{8L^2m}$]].

Tulos tarkoittaa, että energia on kvantittunut samoin kuin liikemäärä. Jos hiukkasen energiaa halutaan lisätä, siihen täytyy tuoda juuri sopiva energiamäärä. Jos energian lisäys tapahtuu absorboimalla fotoni, fotonin energian ja siten taajuuden pitää olla sopivan suuruinen. Tämä periaate pätee myös atomin ympärillä olevalle elektronille, jonka energiatiloja ei kuitenkaan pystytä johtamaan lukiomatematiikalla. Seuraavassa luvussa käsitellään elektronin energian kvantittumisen ilmenemistä, kun se on sidottu atomiytimen ympärille, ja ilmiötä, jolla energian kvantittuminen aiheuttaa alkuaineiden viivaspektrit.