Mitä tarkoittaa geometrisesti, että Maapallon pinta on kaareva? Mitä pinnan kaarevuus tarkoittaa pinnalta itseltään katsottuna? Miten millaisen tahansa pinnan kaarevuuden voi määritellä ja kvantifioida? Mitä tarkoittaa positiivinen tai negatiivinen kaarevuus? Entä miten ihmeessä Maapallon sisuskin voi olla kaareva?

Kolmiomittaus pinnalla

Struven kolmiomittausketjun tarkoituksena oli selvittää planeettamme pinnan geometriaa – poistumatta tuolta pinnalta. Tuohon aikaan ei esimerkiksi ollut selvyyttä, onko planeettamme litistynyt vai pitkulainen. Nykyisin tiedämme, että Maapallon on lähes pallo, ja että se on navoiltaan hieman litistynyt. Tämä on erityisen helppo hahmottaa (liioitellun litistettyä) karttapalloa tutkimalla. Tämä ajatustapa perustuu kuitenkin planeettamme pinnan katsomiseen ulkopuolelta. Nämä ovat kuitenkin asioita, jotka voi havaita myös pinnalta lähtemättä. Mutta mitä kaarevuus tai litistyminen edes tarkoittaa Maapallon pinnalla pysyvän havaitsijan kannalta? Osoittautuu, että tämä on myös matemaattisesti pitkälle vievä kysymys.

Tarkastellaanpa sitten kolmiomittausta jollain pinnalla. Pinta voi olla millainen vain, eikä perusidea riipu lainkaan siitä, olemmeko planeetan, donitsin, banaanin vai pöydän pinnalla. Yksinkertaisin pinta on tavallinen taso. Tämän laakean tason, vaikkapa pöydän pinnan, voi kuvitella jatkuvan joka suuntaan äärettömän kauas, mutta meille riittää tarkastella jotain pientä osaa. Tätä ääretöntä tasoa kutsutaan euklidiseksi tasoksi tasogeometriaa kehitelleen Eukleides-nimisen matemaatikon mukaan.

Kolmiomittauksen pohjana on kolmioverkko. Siitä mitataan perusviivan pituus ja mitataan kaikkien kolmioiden kaikki kulmat. Näistä tiedoista voidaan laskea kaikkien sivujen pituudet. Saadaan siis iso määrä kolmioita, joista tiedämme kaikkien kulmien suuruudet ja sivujen pituudet. Nämä kolmiot voi vaikkapa askarrella paperista (sopivassa mittakaavassa, jottei paperia kulu neliökilometrejä). Nämä kolmiot halutaan nyt sitten liimata reunoistaan yhteen tarkaksi kartaksi. Tällä tavoin saadaan varsin tarkka kartta, kun kolmiot on mitattu tarkasti. Kuvitellaan, että kolmiot on tehty täydellisellä tarkkuudella. Sivuutamme mittausvirheet siis kokonaan, vaikka niillä toki on suuri merkitys käytännössä.

Kun näin tehdään, kartan rakentamisessa tulee kuitenkin ongelma, ja ongelma pahenee kun kartasta tehdään suurempi. Kun kolmiot liimaa yhteen, kartta menee ryppyyn. Tätä voi havainnollistaa seuraavasti: Leikkaa paperista kolme kolmiota, joiden kulmat ovat 120°, 30° ja 30°. Yhdistä nämä kolmiot toisiinsa (vaikkapa liimaamalla tai vain asettelemalla pöydälle) niin, että 120 asteen kärki on yhteinen. sivujen pitäisi asettua siististi vastakkain (vaikka olisivatkin hieman eripituiset). Leikkaa sitten tylppä kärki hieman terävämmäksi yhdestä kolmiosta (vaikkapa 110-asteiseksi). Kokeile nyt samaa uudestaan. Huomaat, että jos nämä kärjet pakottaa yhteen samaan tapaan kuin edellä, kuvio meneekin ryppyyn. Kulmia onkin ikään kuin liian vähän. Syntyy kartio (tai teltta tai hassu hattu, miten nyt tahtoo asian nähdä). Näin käy myös Maapallon pinnalla, vaikka tämä esimerkki onkin liioiteltu. Jos taas kokeilet liimata yhteen liian suuria kulmia (näin ei käy millään planeetalla), menee kuvio ryppyyn eri tavalla. Kartta muistuttaa ikään kuin satulaa.

Kolmiomittauksen kolmiot eivät siis olekaan keskenään yhteensopivia, kun niistä syntyvä kartta rypistyy. Syy tähän ongelmaan on, että Maapallon pinta on kaareva, vieläpä positiivisesti kaareva. Jos kaarevuutta ei olisi (tarkemmin: jos kaarevuus olisi nolla), kolmiot sopisivat yhteen. Jos kaarevuus on positiivinen, tilanne on sama kuin liimattaessa yhteen liian pieniä kulmia. Jos kaarevuus on negatiivinen, tilanne on sama kuin liimattaessa yhteen liian suuria kulmia. Kaarevuus liittyy siis kiinteästi kolmion kulmien suuruuksiin, ja tämä yhteys tulee pian yllättävänkin merkittäväksi.

Erilaisten pintojen kaarevuuksia voi selvittää koittamalla levittää paperia niiden päälle. Jos vaikkapa liimaat kaupassa punnitustarran limeen, tarra menee ryppyyn. Lime on positiivisesti kaareva. Jos taas liimaat tarran banaanin ”taipeeseen”, tarra repeää. Kyseinen kohta banaanista on negatiivisesti kaareva. Banaanissa on myös positiivisesti kaarevia kohtia. (Voidaan osoittaa, että jokainen hedelmä on jostain positiivisesti kaareva. Lisäksi jokaisella hedelmällä on tietyssä mielessä aina enemmän positiivista kuin negatiivista kaarevuutta. Donitsilla taas on molempia yhtä paljon.)

Palataan Maapallon muotoon, jota lähdimme tutkimaan. Litistyminen tarkoittaa, että kaarevuus on navoilla pienempää kuin päiväntasaajalla. Mitä tämä oikeastaan tarkoittaa? Tarvitsemme tarkempia työkaluja. Maapallo on kaikkialta pyöreä (positiivisesti kaareva), mutta tuon kaarevuuden määrä vaihtelee. On monelta kannalta hyvä pystyä kuvailemaan asiaa tarkemmin kuin sanomalla, että jos Maapalloon liimaa tarran, menee tarra pahiten ryppyyn päiväntasaajalla.

Geometrisia peruskäsitteitä pinnalla

Selvitämme seuraavaksi, mitä tarkoittavat kulmat, pituudet ja suorat viivat kaarevalla pinnalla. Jotta kaareutumista voi ymmärtää tarkemmin, täytyy luoda hieman teoriaa yleisistä kaarevista pinnoista. Tämä ei suinkaan ole tarkka matemaattinen oppitunti, vaan esitys ideoista tämän teorian takana. Joskus yksinkertaiselta kuulostavia asioita (kuten suoraa viivaa tai käyrän viivan pituutta) täytyy tutkia tarkoin ja koittaa määritellä, mitä ne oikeastaan tarkoittavat. Peruskäsitteisiin liittyvä valtava huolellisuus (ja joskus kiusallisuuteen asti menevä tarkkuus) on matematiikan peruspilari.

Ensimmäinen tärkeä lähtökohta geometriaan on, että kaikki tehdään sisäisesti eikä ulkoisesti. Tämä tarkoittaa sitä, että kaikki ajatellaan pinnalta käsin, eikä käytössä ole mitään ”ulkoavaruutta”, josta voisi katsella. Elämme siis kuin emme olisi ikinä kuulleetkaan sanoja ”ylös” ja ”alas”, vaan osaamme vain kulkea maata pitkin. Vaikka oman planeettamme tutkimuksen kannalta tämä tarkoittaa paluuta aikaan ennen avaruudesta takaisin katsomista, matematiikan kannalta kyseessä on oleellinen ja moderni näkökulma. Rajoittuminen pinnalle ei kuitenkaan estä näkemästä kaarevuutta!

Perusgeometriaa varten täytyy osata mitata etäisyyksiä ja kulmia. Aloitetaan kulmista. Kuvittele kaksi pitkää ja oikein kapeaa tietä Maapallon pinnalla. Ne kohtaavat toisensa yhdessä risteyksessä. Mikä on niiden välinen kulma? Katsotaan risteystä hiljalleen lähempää ja lähempää. Kun teitä katsotaan riittävän läheltä, pyöreä planeettamme alkaa näyttää tasolta. Kun jatketaan, tiet alkavat näyttää suorilta. Kun zoomataan riittävästi, kaksi tietä pinnalla näyttävätkin kahdelta suoralta euklidisessa tasossa. Tasossa osaamme mitata kulmia koulusta tutulla tavalla, ja näin siis saamme selville teiden välisen kulman.

Määritelmä asetettiin siis nojautuen siihen, että kaikki näyttää euklidiselta, kun katsoo riittävän läheltä. Tämä on keskeinen ajatus. Peruskäsitteet määritellään tavallaan katsomalla kaarevaa pintaa niin läheltä, ettei se näytä enää kaarevalta. Voi tulla yllätyksenä, että kaarevuutta on kätevä tutkia juuri tällaisten käsitteiden avulla.

Sovelletaan samaa läheltä katsomisen ideaa pituuteen. Kuvittele pitkä tie Maapallon pinnalla. Miten määrittelisimme sen pituuden? Jaetaan tie moneen osaan. Kun osat ovat riittävän pieniä, ne alkavat näyttää janoilta (suoran pätkiltä) euklidisessa tasossa. Jos tie jaetaan neljään osaan, eivät pätkät näytä kovinkaan suorilta. Mutta jos osia on tuhat tai miljardi, alkaa jyrkinkin mutka näyttää suoralta. Tien kaartuminen on mittakaavakysymys, ja riittävän läheltä kaikki näyttää suoralta. Tien pituus saadaan laskemalla yhteen nämä pienet janojen pituudet.

 

Olemme nyt tutkineet käyrien välisiä kulmia ja käyrien pituuksia. Haluamme kuitenkin käyttää suoria viivoja. Suora viiva käyrässä avaruudessa on nimeltään geodeesi. Tämä kuulostaa mahdollisesti hullulta, mutta käsite on tärkeä. Aloitetaan laakeasta (kaarevuudettomasta) tilanteesta. Jos pingotat langanpätkän kireäksi pöydän pinnalla, lanka asettuu suoraan. Jos taas pingot langan karttapallon tai sopivan hedelmän pinnalle, se asettuu pintaa pitkin. Lanka on nyt niin suorassa kuin se voi olla. Se muodostaa myös lyhimmän tien päätepisteidensä välille. Lanka on geodeesi. Mutta tämä langan pingottaminen vaatii ulkoavaruuden, jota halusimme olla käyttämättä. Matemaatikko selviää tilanteesta pingottamalla abstraktille pinnalleen abstraktin langan. Lankojen virittely pallon pinnalle antaa mielikuvan geodeeseista ja avaa oven hyvään määritelmään: geodeesi on lyhin mahdollinen käyrä.

Tätä pintojen teoriaa kutsutaan (pintojen) differentiaaligeometriaksi. Samat käsitteet voidaan määritellä hyvin tarkasti ja abstraktisti, mutta perusidea on sama kuin tässä on esitetty. Idea on, että pinta on abstrakti objekti, joka läheltä katsottuna näyttää euklidiselta tasolta. Tämän ”paikallisen euklidisen geometrian” vaihtelut ovat kaarevuuden taustalla. Jos ajatellaan ulkoisesti, jokaiseen pisteeseen voidaan piirtää sitä sivuava tangenttitaso. Keskeisiä differentiaaligeometrian ideoita on piirtää tangenttitaso sisäisesti, mitä se sitten tarkoittaakaan. Myös korkeampiulotteisia pintoja voi ja kannattaa tutkia, mutta toistaiseksi jatkamme kaksiulotteista elämäämme. Jos ajatellaan ulkoisesti, jokaiseen pisteeseen voidaan piirtää tangenttitaso samaan tapaan kuin oheisessa kuvassa on piirretty tangenttisuora käyrälle.

Kaarevuus

Valmistelujen jälkeen olemme vihdoin valmiita tutkimaan kaarevuuden käsitettä lähemmin. Nyt osaamme piirtää kolmion: valitaan pinnalta kolme pistettä ja piirretään niiden väleille geodeesit. (Näinhän kolmiot piirretään myös geometrian oppitunnilla, vaikka geodeesia kutsutaankin tällöin nimellä ”jana” tai ”viiva”.) Näiden geodeesien väliset kulmat voidaan myös mitata. Samaan tapaan kuin pituus, voidaan mitata myös pinta-ala jakamalla kolmio pieniin osiin ja laskemalla yhteen pienten euklidisten tasoalueiden pinta-aloja.

Koulusta (toivottavasti) muistetaan, että kolmion kulmien summa on 180°. Mutta jos pinta on kaareva, näin ei enää välttämättä olekaan. Oikeastaan juuri tämän ominaisuuden voi ottaa pinnan kaarevuuden määritelmäksi. Kolmion kaarevuus on

Euklidisessa tasossa K=0, joten kolmion kulmien summa on tuttu 180°. Maapallon pinta on positiivisesti kaareva, joten kolmion kulmien summa on aina yli 180°.

Olemme nyt määritelleet kolmion kaarevuuden. Mikä sitten on kaarevuus yhdessä pisteessä? Käytetään taas samaa zoomausideaa. Tämä on niin hyvä idea, että sitä kannattaa toistaa. Jos haluamme selvittää vaikkapa Maapallon kaarevuuden Jyväskylässä, piirrämme tämän halutun pisteen ympärille pienen kolmion. Kun kolmio on hyvin pieni, on kaarevuus halutussa pisteessä tämän kolmion kaarevuus. (Jos nämä zoomaukset haluaa toteuttaa tarkasti hikoiluttamatta kuulolla olevia matemaatikoita, on parempi käyttää raja-arvojen käsitettä kuin puhua ympäripyöreästi ”hyvin pienistä” asioista. Keskitymme nyt kuitenkin mielikuviin pienen mielipahan uhallakin.)

Tämä saattaa kuulostaa keinotekoiselta tai varta vasten yksinkertaistetulta tavalta määritellä kaarevuus suuren yleisön iloksi. Näin ei kuitenkaan ole. Tässä annettu määritelmä sopii tarkaksi tekniseksi määritelmäksi (kunhan kieltä käytetään hieman huolellisemmin), kuten ilmenee nk. Gaussin ja Bonnet’n lauseesta. Tässä vaiheessa on hyvä pysähtyä ja huomata, että kaarevuus on määritelty ”teoreettisella kolmiomittauksella”: määrittelimme kaarevuuden piirtämällä kolmioita ja mittaamalla niiden kulmia. Geometrian selvittäminen kolmioiden avulla on Struven ketjun idea, ja sama idea toimii myös differentiaaligeometriassa. Käytännössä kolmiot toimivat kovin eri tavoin maastossa ja abstraktilla pinnalla, mutta idea kolmioiden käyttämisestä geometrian tutkimiseen on molempien takana. Lisäksi etymologeja saattaa kiinnostaa, että sana ”geometria” tarkoitta juuri maan mittaamista, joten ei ehkä yllätä, että ala sopii Maan mittaamiseen.

Kolmiomittaus tehdään pintaa pitkin (käytetyt tornit ovat koko planeetan kokoluokassa lopulta mitättömiä), joten myös sama ”sisäisen geometrian” idea toistuu. Tähän sisältä katsomiseen kuuluu myös se, ettei tiedetä edes kummalla puolella pintaa ollaan. Sekä mäen että kuopan kaarevuus on positiivinen. Lähellä mäen juurta tosin esiintyy negatiivista kaarevuutta. Abstrakti mallimme ei tietenkään vastaa todellisuutta täysin, mutta se vastaa sitä silti hyvin.

Maapallon säde on noin 6000 km. Jos Pallon säde on R, niin sen pinnan kaarevuus on K=1/R^2. Tästä ilmenee, että jos säde on suuri (kuten planeetallamme on), on kaarevuus pieni. Siksi kaarevuutta ei havaitse pienissä mittakaavoissa. Oikeastaan mikä hyvänsä pallo näyttää suurelta ja kaarevuus siksi pieneltä, kunhan katsoo riittävän pientä osaa. (Harjoitustehtävä: katso jalkapalloa ensin metrin ja sitten viiden sentin päästä.) Tämä on taas yksi ilmentymä siitä, miten pinta näyttää euklidiselta tasolta läheltä katsottuna.

Kaarevuuden voi myös hahmottaa pallojen avulla. Yhtälö K=1/R^2 kertoo myös, millainen pallon säde vastaa tiettyä kaarevuutta. Edellä tutkittiin, mikä on kaarevuus Jyväskylässä (tai jossain muussa kiinnostavassa pisteessä) kolmioita tarkastelemalla. Jyväskylästä katsottuna siis näyttää, että Maapallolla olisi jokin tietty säde. Tämä ”näennäinen säde” eli kaarevuussäde vaihtelee. Navoilla kaarevuus on pienempi, joten kaarevuussäde on suurempi. Päiväntasaajalla kaarevuus on suurimmillaan ja kaarevuussäde vastaavasti pienimmillään.

Toisaalta kuitenkin etäisyys Maapallon keskipisteestä navalle on pienempi kuin päiväntasaajalle, joten siinä mielessä navalla säde on pienempi kuin päiväntasaajalla. Nämä kaksi eri säteen käsitettä käyttäytyvät päinvastaisilla tavoilla. Tämä olkoon varoittava esimerkki siitä, että kaarevuussäde ei yleensä tarkoita etäisyyttä keskipisteestä. Oheisessa kuvassa on litistynyt Maapallo, jossa etäisyys keskipisteestä on lyhyempi pohjoisnavalle kuin päiväntasaajalle, mutta pohjoisnavalla kaarevuussäde (kuvan ympyrä) on suurempi kuin päiväntasaajalla.

Olemme nyt tutkineet kaarevuuden käsitettä tarkemmin. Tarkastellaan muutamaa Struve-aiheista kysymystä:

• Onko Maapallo navoiltaan litistynyt?
• Onko kaarevuus navoilla pienempi?
• Ovatko kolmiot ”euklidisempia” navoilla?
• Onko Maapallon kaarevuussäde päiväntasaajalla pienempi?

Nämä kysymykset ovat samat! Ne ovat näennäisesti erilaisia, mutta osoittautuu kuitenkin, että ne kysyvät täsmälleen saman asian. Tämä on tyypillinen tulos matematiikassa: se ei vastaa kysymykseen (koska vastaus riippuu tilanteesta), vaan auttaa muotoilemaan kysymyksen erilaiseen yhtäpitävään muotoon.

Maanjäristykset ja geometria

Maapallon pinnan geometria tunnetaan nykyisin varsin hyvin, joten siirrytään planeetan sisään. Geometrian merkitys muuttuu nyt abstraktimmaksi.

Kun tapahtuu maanjäristys, järistysaallot kulkevat planeetan läpi. Näiden seismisten aaltojen matka-aika voidaan mitata: tiedetään, milloin ja missä järistys tapahtui ja aaltojen saapuminen mitta-asemille ympäri maailman voidaan havaita. Voiko matka-aikoja mittaamalla selvittää planeetan rakenteen? Tämä on ns. käänteinen ongelma (inversio-ongelma), jossa jokin suure täytyy päätellä epäsuorasti. Planeetan sisärakenne on pakko päätellä epäsuorasti, sillä syvimmät reiät ovat noin 10 km syviä, kun taas planeetan koko mitataan tuhansissa kilometreissä. Kuoppia kaivamalla saadaan siis vain raavittua pintaa, eikä syvemmälle näe suoraan.

Monia muitakin asioita täytyy mitata epäsuorasti. Jos esimerkiksi halutaan selvittää, onko potilaan luu murtunut, on parempi olla irrottamatta luuta potilaasta lähemmin tutkittavaksi. Tai jos halutaan selvittää, onko valmistettu betonipalkki ehjä, täytyy mittaus tehdä palkkia rikkomatta. On helppoa rikkoa palkki osiin ja todeta, että se oli ehjä, mutta talot ja sillat on kätevintä valmistaa betonipalkeista, jotka ovat rakennushetkellä ehjiä.

Seismiset aallot eivät kulje suoraan vaan kaartuvat kohti pintaa. Tämä reittien kaartuminen johtuu äänennopeuden vaihtelusta. (Äänennopeus tarkoittaa tässä seismisten aaltojen nopeutta. Maan järistysaaltokin on tavallaan ääniaalto.) Äänennopeus kasvaa syvemmälle mentäessä, ja siksi reitit kaartuvat pintaa kohti. Käänteisen ongelmamme epäsuorasti selvitettävä suure on äänennopeus Maapallon eri osissa. Äänennopeudesta taas voidaan päätellä erilaisia fysikaalisia ja kemiallisia asioita.

Tämä ongelma muuttuu geometriseksi, kun muutamme näkökulmaa. Vaadimme nyt, että aallot eivät kaarru vaan kulkevat suoraan. Tämä voi vaikuttaa mahdottomalta – vastahan totesimme, että aallot eivät kulje suoraan. Suoruus onnistuu kuitenkin, mutta sillä on hinta: kolmiulotteisen avaruuden euklidinen geometria (jossa suoraan kulkeminen tarkoittaa tavallista suoraa viivaa pitkin kulkemista) täytyy vaihtaa epäeuklidiseen geometriaan. Tämä ”käyrän julistaminen suoraksi” kuulostanee abstraktilta, oudolta ja typerältä, mutta se on kuitenkin varsin hyödyllinen ajatus ja esittelee myös modernin geometrian joustavuutta.

Jos äänennopeus olisi kaikkialla sama, aallot kulkisivat suoraan ja geometria olisi tuttu euklidinen. Maapallon sisäosien geometria on siis äänennopeuden vaihtelua. Käänteisongelmamme onkin siis luonteeltaan geometrinen, vaikkei siltä näyttänyt. Tätä ongelmaa kutsutaan matka-aikatomografiaksi, sillä mittaukset koskevat juuri aaltojen matka-aikoja.

Samankaltainen paradigman (eli ajattelutavan) muutos on tapahtunut painovoimateoriassa. Newtonin näkökulma on, että Aurinko aiheuttaa voiman, joka saa planeetan liikkumaan käyrää rataa pitkin. Einsteinin näkökulma on, että Aurinko tekee avaruudesta kaarevan ja planeetta kulkee suoraa rataa käyrässä avaruudessa – geodeesia pitkin. Vastaavasti emme nyt ajattele, että äänennopeuden vaihtelu saa suunnan muuttumaan, vaan että äänennopeus luo geometrian, jossa aalto kulkee suoraan. Uusi näkökulma ei kuitenkaan tarkoita, että vanhasta pitäisi luopua; eihän Newtonin teoriakaan ole turha suhteellisuusteorian myötä. Eri näkökulmista on hyötyä eri tilanteissa. Painovoima ja seismologia tarjoavat kaksi esimerkkiä fysiikan geometrisoinnista, jossa tulkitaan fysikaalisia ilmiöitä uudestaan geometrisesta näkökulmasta. (Mainittakoon, että painovoiman kohdalla muuttui muukin kuin näkökulma; Einsteinin malli ennusti myös uusia ilmiöitä. Seismologian puolella sen sijaan kyse on vain näkökulmaerosta.)

Maapalloon liittyvien ilmiöiden matemaattista tutkimusta kutsutaan geomatematiikaksi. Se on osin luonteeltaan geometrista tässä esitellyistä syistä, mutta tarvittavien matematiikan osa-alueiden määrä on suuri. Maapallo on kovin monimutkainen (myös geometrisesti!), eikä kaikkea sen tutkimiseen tarvittavaa matemaattista teoriaa ole vieläkään saatu kehitettyä. Yllä esitellyn matka-aikatomografiaongelman lisäksi voidaan esimerkiksi haluta selvittää geometria planeetan värähtelytaajuuksien avulla. Maapallo jää ison maanjäristyksen jälkeen värähtelemään kuin rumpu, ja taajuudet voidaan mitata – omakin tutkimukseni liittyy osin kysymykseen, voiko Maapallon muodon kuulla. Lisäksi planeetallamme on selkeä kerroksittainen rakenne (kiinteä vaippa, nestemäinen ulkoydin, kiinteä sisäydin), mutta näiden kerrosten vaikutus geometrisiin ongelmiin on vielä auki.

Maapallon pinnan geometria tunnetaan hyvin, mutta sisäosien geometria ei vieläkään ole täysin selvillä. Esimerkiksi ei tiedetä, missä määrin äänennopeus voi riippua sijainnin lisäksi suunnasta. Maapallon geometriaa tutkitaan siis yhä, ja allekirjoittanut on omalta pieneltä osaltaan mukana tässä työssä. Struven työ jatkuu uudella tavalla.