4.1 Generaattori ja vaihtovirta
Generaattori synnyttää vaihtojännitteen
Tuulivoimalan toiminta perustuu ilman liike-energiaan, jonka tuuliturbiini muuntaa turbiinin pyörimisen liike-energiaksi. Energia muuntuu edelleen sähköiseen muotoon jolloin se voidaan siirtää kuluttajalle sähköverkon kautta. Useimmissa voimalaitoksissa hyödynnetään vastaavaa prosessia. Lämpövoimalaitosten turbiinia pyörittää laajeneva höyry ja vesivoimalan turbiinia virtaava vesi. Kaikissa näissä tuotantolaitoksissa sähkö syntyy turbiinin pyörittämän generaattorin avulla.
Generaattorin toiminta perustuu sähkömagneettiseen induktioon. Oheisessa videossa näet 12 000-kierroksiseen käämiin muodostuvan jännitteen, kun sen lähellä pyöritetään sauvamagneettia.
Käämin lähellä pyörivä magneetti aiheuttaa muuttuvan magneettivuon käämissä, jolloin käämiin syntyy induktiojännite. Jännite havaitaan myös tilanteessa, jossa käämi pyörii ulkoisessa magneettikentässä. Jännite on suurimmillaan, kun käämi on lähellä magneettia ja pyöriminen on nopeaa. Tällöin magneettivuon muutosnopeus on suuri, ja induktiolain mukaisesti myös jännite on suuri. Induktiolain perusteella myös käämin pinta-ala ja kierrosluku vaikuttavat jännitteen suuruuteen.
Generaattorin jännitteen matemaattinen malli
Edellisessä videossa havaittiin jännitteen kuvaajan muodon vaihtelevan käämin ja magneetin ollessa eri asennoissa toisiinsa nähden. Säännönmukaisinta magneettivuon muutos on videon tilanteessa 2. Se vastaa tavanomaisen generaattorin toimintaperiaatetta, jossa käämi pyörii homogeenisessa magneettikentässä. Tarkastellaan tällaista tilannetta, ja johdetaan generaattorin tuottamalle jännitteelle lauseke induktiolain perusteella.
Induktiojännite aiheutuu magneettivuon muutoksesta. Pyörivän käämin tapauksessa magneettivuon tiheys on vakio ja muuttuvana suureena on käämin kentälle kohtisuora pinta-ala. Merkitään käämin pyörimisen kierrosaikaa [[$ T $]], jolloin pyörimisen taajuus on [[$ f=1/T $]]. Oletetaan käämin akselin olevan alussa kentän suuntainen. Hetkellä [[$ t $]] käämi on kiertynyt kulman [[$ \phi $]], joka on radiaaneissa ilmaistuna
[[$ \quad \phi =2 \pi /T\cdot t=2 \pi ft $]].
Radiaani (Wikipedia)
Kentälle kohtisuora pinta-ala voidaan nyt määrittää. Kulman ollessa [[$ \phi $]] se on [[$ A \cos\phi $]], jossa A on käämin koko pinta-ala. Käämin läpäisevän magneettivuon lauseke hetkellä [[$ t $]] on siis
[[$ \quad \Phi =BA=BA\cos(2 \pi ft) $]].
Induktiolain mukaan hetkellinen induktiojännite saadaan derivoimalla magneettivuo ajan suhteen. Sovelletaan tähän yhdistetyn kosinifunktion derivointisääntöä [[$ D \cos f(x)=-f'(x)\sin f(x) $]]
[[$ \begin{align} \quad e&=-N\dfrac {d \Phi}{dt} \\ \, \\
&=-N\dfrac {d(BA\cos(2 \pi ft)}{dt}\\ \, \\
&=-NBA\dfrac {d\cos(2 \pi ft)}{dt} \\ \, \\
&=2\pi fNBA\cdot(\sin 2\pi f t)\end{align} $]]
Generaattorin tuottama vaihtojännite
Kun [[$ N $]]-kierroksinen käämi pyörii kierrostaajuudella [[$ f $]] homogeenisessä magneettikentässä, siihen indusoituu jännite [[$ e $]], joka vaihtelee sinimuotoisesti ajan suhteen:
Jännitteen huippuarvo on [[$ \hat e=2\pi fNAB $]]. Tämän avulla generaattorin jännite ilmaistaan muodossa:
[[$ \quad e=\hat e \sin (2 \pi f t) $]]
Linkissä olevassa simulaatiossa voit havainnoida generaattorin toimintaa ja jännitteen muodostumista pyörimisen eri vaiheissa.
Simulaatio generaattorista Eräs generaattorin arkinen sovellus on pyörän ajovalon sähkön tuottaminen dynamolla, joka on pienikokoinen generaattori.
Generaattorin simulaatio
Alla olevassa simulaatiossa voit tutkia käämin pinta-alan, kierrosluvun ja pyörimistaajuuden vaikutusta käämiin indusoituvan jännitteen suuruuteen.
Simulaatio generaattoristaVastus vaihtovirtapiirissä
Generaattori tuottaa vaihtojännitettä. Kun generaattori kytketään vastukseen, syntyy vaihtovirtaa. Alla olevalla videolla demonstroidaan hehkulampun käyttäytymistä vaihtojännitteessä.
Lampun jännitteen vaihdellessa sen sähkövirta muuttuu samaan tahtiin. Vaihtojännitteen ja -virran sanotaan olevan samassa vaiheessa. Hehkulampun valo syntyy sähkövirran lämmittäessä hehkulangan hyvin kuumaksi. Lämpövaikutuksen kannalta sähkövirran kulkusuunta ei ole oleellinen. Vaihtovirta saa lampun välkkymään, mutta korkeataajuisessa sähkövirrassa hehkulanka ei juuri ehdi jäähtyä, eivätkä silmät havaitse välkkymistä.
Hehkulamppu käyttäytyy likimäärin vastuksen tavoin. Vastuksessa jännite ([[$U$]]) ja sähkövirta ([[$I$]]) ovat suoraan verrannolliset. Ohmin lain mukaan näiden suhde kuvaa vastuksen kykyä vastustaa sähkövirran kulkua, mitä kutsutaan resistanssiksi ([[$R$]]). Ohmin laki esitetään kaavalla
[[$ \quad R=\dfrac{U}{I} $]].
Kun 10 ohmin vastus kytkettiin vaihtojännitelähteeseen, vastuksessa mitattii alla olevan kuvaajan mukainen jännite ja sähkövirta. Molemmat suureet voidaan esittää samassa koordinaatistossa niin, että jännitteen lukuarvot nähdään vasemmanpuoleiselta pystyakselilta ja virran oikeanpuoleiselta.
Vastus noudattaa Ohmin lakia, eli sähkövirran ja jännitteen suhde on joka hetkellä vakio. Virran ja jännitteen hetkellisiä arvoja merkitään pienillä kirjaimilla [[$ i $]] ja [[$ u $]]. Kuvaajasta voidaan lukea jännitteen ja virran olevan suurimmillaan n. 0,40 A ja 3,9 V. Näiden hetkellisten arvojen suhde on n. 9,6 V/A, mikä on lähellä vastuksen nimellistä resistanssia 10 [[$ \Omega $]].
Graafisesti vastuksen resistanssi voidaan määrittää sähkövirta-jännite-kuvaajan fysikaalisena kulmakertoimena. Alla on esitetty tämä kuvaaja samasta mittauksesta.
Vastus vaihtojännitteessä
Vastus noudattaa Ohmin lakia. Jokaisella hetkellä jännitteen [[$u$]] ja sähkövirran [[$i$]] suhde on vastuksen resistanssin [[$R$]] suuruinen:
Sinimuotoiseen vaihtojännitteeseen kytkettäessä vastuksen vaihtovirta on myös sinimuotoinen. Jännite ja virta saavat suurimmat arvonsa samaan aikaan, joten niiden sanotaan olevan samassa vaiheessa.
Teholliset arvot
Vaihtovirran ja jännitteen suurimpia itseisarvoja kutsutaan huippuarvoiksi. Niitä merkitään [[$\hat i$]] ja [[$\hat u$]]. Sähkövirta vaihtelee siis arvojen [[$\hat i$]] ja [[$-\hat i$]] välissä ja jännite arvojen [[$\hat u$]] ja [[$-\hat u$]] välissä. Vastus tuottaa resistanssinsa vuoksi jatkuvasti lämpötehoa, mikä määritellään kaavalla [[$P=UI$]]. Teho jollain tietyllä hetkellä saadaan käyttämällä virran ja jännitteen arvoja tuona hetkenä. Koska virran ja jännitteen arvot vaihtelevat, myös teho vaihtelee. Matemaattinen malli teholle voidaan muodostaa jännitettä ja sähkövirtaa ilmaisevien sinifunktioiden tulona:
[[$ \quad u=\hat u \cdot \sin (2\pi f t) $]]
[[$ \quad i=\hat i \cdot \sin (2\pi f t) $]]
[[$ \quad ui=\hat u \hat i\cdot (\sin (2\pi f t))^2 $]]
Jännite ja virta saavat positiivisia ja negatiivisia arvoja. Tehon lauseke on sinifunktion neliö, joten sen arvot ovat aina suurempia tai yhtä suuria kuin nolla. Tehon suurin arvo on jännitteen ja virran huippuarvojen tulo eli [[$\hat u \hat i$]]. Alla on esitetty esimerkkikuvaajat jännitteelle, sähkövirralle ja näiden tuottamalle teholle.
Tehon kuvaajan perusteella voidaan päätellä keskimääräinen teho. Kuvaajan symmetrian perusteella se on pienimmän ja suurimman tehon keskiarvo, eli [[$\dfrac{\hat u \hat i}{2}$]]. Alla oleva kuva havainnoillistaa symmetriaa pinta-alan kautta.
Sähkötehoa voidaan ilmaista määrittämällä vaihtojännitteelle ja vaihtovirralle teholliset arvot. Näitä merkitään [[$U_\text{eff}$]] ja [[$I_\text{eff}$]]. Ne tarkoittavat sellaisia tasavirran ja jännitteen arvoja, joilla vastus tuottaisi yhtä suuren tehon kuin vaihtojännitteessä. Tehollisten arvojen suhde huippuarvoihin voidaan johtaa tarkastelemalla kahta laskutapaa teholle:
[[$ \quad U_{\text{eff}}I_{\text{eff}}=\dfrac{\hat u \hat i}{2}=\dfrac{\hat u \hat i}{\sqrt 2 \sqrt 2}=\dfrac{\hat u}{\sqrt 2}\cdot\dfrac{\hat i}{\sqrt 2}
$]]
Teholliset arvot vaihtojännitteelle ja vaihtovirralle ovat siis niiden huippuarvot jaettuna [[$ \sqrt 2 $]]:lla. Laitteisiin ja esimerkiksi sulakkeisiin merkityt arvot ovat aina tehollisia arvoja.
Vastuksen teho vaihtojännitteessä
Sähkövirran ja jännitteen teholliset arvot [[$U_\text{eff}$]] ja [[$I_\text{eff}$]] tarkoittavat niitä tasavirran ja jännitteen arvoja, joilla vastus tuottaisi yhtä suuren tehon kuin vaihtojännitteessä. Teholliset arvot lasketaan virran ja jännitteen huippuarvojen [[$\hat i$]] ja [[$\hat u$]] perusteella seuraavasti:
[[$ \quad U_{\text{eff}}=\dfrac{\hat u}{\sqrt 2} $]]
Vastuksen kuluttama teho vaihtojännitteessä:
[[$ \quad P=U_{\text{eff}}I_{\text{eff}} $]]
Pysähdy pohtimaan
Esimerkkejä
Esimerkki 1
Generaattori koostuu käämistä, jossa on 1 500 kierrosta ja jonka pinta-ala on 0,025 m2. Käämi pyörii homogeenisessa magneettikentässä, jossa magneettivuon tiheys on 0,20 T. Kuinka monta kierrosta minuutissa käämin tulee pyöriä, jotta generaattorista saataisiin 120 V:n tehollinen jännite?
Esimerkki 2
Vastus kytkettiin vaihtojännitelähteeseen. Mitattaessa vastuksen napojen välistä jännitettä ja sähkövirtaa saatiin seuraavat kuvaajat (alla). Määritä kuvaajien perusteella
- vaihtojännitteen taajuus
- jännitteen ja sähkövirran teholliset arvot
- vastuksen resistanssi
- vastuksen teho.
