Esimerkkien ratkaisut
Esimerkin 1 ratkaisu
Sauvamagneetti pudotettiin käämin läpi. Käämiin kytketty jänniteanturi mittasi oheisen kuvaajan mukaisen jännitteen.
- Selitä havaittu jännite ja kuvaajan muoto.
- Miten kuvaaja poikkeaisi mitatusta, jos magneetti pudotettaisiin toinen pää edellä?
- Miten kuvaaja poikkeaisi mitatusta, jos magneetti pudotettaisiin korkeammalta?
Ratkaisu
a. Sauvamagneetin liikkuessa käämiä kohti tai siitä poispäin magneettivuon tiheys muuttuu käämin kohdalla. Tällöin käämin läpäisevä magneettivuo muuttuu ja siihen indusoituu jännite. Induktion suunta on Lenzin lain mukaan sellainen, että sen vaikutukset heikentävät muutosta, joka induktion aiheuttaa. Magneettivuon muutos on vastakkaissuuntaista magneetin liikkuessa kohti käämiä ja siitä poispäin. Tämän vuoksi syntyy kaksi erimerkkistä jännitepiikkiä. Magneetin putoamisliike on kiihtyvää, joten jälkimmäinen muutos on nopeampi. Jälkimmäinen jännite on itseisarvoltaan suurempi ja kestoltaan lyhyempi.
b. Pudotettaessa magneetti toinen kohtio edellä olisivat vuon muutokset vastakkaissuuntaisia. Ensin havaittaisiin negatiivinen jännite ja sen jälkeen positiivinen.
c. Jos magneetti pudotetaan korkeammalta, sen nopeus käämin kohdalla on suurempi. Magneettivuon muutos on tällöin nopeampaa. Molemmat jännitepiikit olisivat tällöin korkeampia ja kapeampia.
Esimerkin 2 ratkaisu
Led-lamppu vaatii 1,4 V:n jännitteen palaakseen. Lampun navat on kytketty yhteen rautalangalla, joka muodostaa 3,8 cm:n säteisen ympyrän. Rautalanka on homogeenisessa magneettikentässä, jonka magneettivuon tiheys on 1,2 mT.
- Kuinka pitkäksi aikaa lamppu saadaan palamaan pienennettäessä magneettivuon tiheys nollaan?
- Entä jos rautalankaa olisi 100 kierrosta?
Ratkaisu
a. Lamppu palaa, jos sen napojen välillä on riittävä jännite. Tämä on sama kuin silmukan induktiojännite. Silmukkaan indusoituu jännite vain, kun sen läpi kulkeva magneettivuo muuttuu, eli lamppu palaa vain sen aikaa, kun magneettivuon tiheys pienenee. Lisäksi pienenemisen on oltava riittävän nopeaa, sillä indusoituva jännite on sitä pienempi, mitä hitaampi muutos sen saa aikaan.
Indusoituva jännite on [[$e=-\dfrac{\Delta \Phi}{\Delta t}$]], missä [[$\Delta\Phi$]] on magneettivuon muutos ja [[$\Delta t$]] muutokseen kuluva aika.
Magneettivuo on lopussa nolla ja alussa [[$\Phi=AB=\pi r^2 B$]]. Magneettivuon muutos on siis [[$-\pi r^2 B$]].
Aika voidaan ratkaista induktiojännitteen lausekkeesta: saadaan
[[$ \quad\begin{align} \Delta t &=-\dfrac{\Delta \Phi}{e} \\ \ \\ &=\dfrac{\pi r^2 B}{e} \\ \ \\ &=\dfrac{\pi\cdot\left(0{,}038\text{ m}\right)^2\cdot 0{,}0012\text{ T}}{1{,}4\text{ V}}\\ \, \\ &=3{,}88\dotso\cdot10^{-6}\approx 3{,}9\text{ }\mu\text{s}\end{align} $]]
Lamppu saadaan palamaan n. 3,9 mikrosekunniksi.
b. Tilanne on muuten sama, mutta nyt jokaiseen silmukkaan indusoituu sama jännite ja kokonaisjännite on satakertainen yhteen silmukkaan indusoituvaan jännitteeseen nähden. Yhteen silmukkaan riittää siis sadasosa a-kohdan induktiojännitteestä, eli aikaa voi kulua satakertainen määrä: 0,39 ms.
Kun rautalankaa on 100 kierrosta, lamppu saadaan palamaan noin 0,39 millisekunniksi.
Esimerkin 3 ratkaisu
Magneettivuo käämin läpi muuttuu oheisen kuvaajan mukaisesti. Muutoksen aikana käämissä mitataan suurimmillaan 0,88 voltin jännite. Määritä kuvaajaa tai taulukoitua mittausdataa hyödyntäen käämin kierrosten lukumäärä.
Aineisto:
Taulukko: magneettivuo_kaamin_lapi.ods (LibreCalc)
Taulukko: magneettivuo_kaamin_lapi.cmbl (Logger Pro)
Taulukko: magneettivuo_kaamin_lapi.cap (Capstone)
Ratkaisu
Käämiin syntyy magneettivuon muuttuessa induktiolain mukainen jännite.
[[$\quad e=-N\dfrac {\Delta \Phi}{\Delta t} $]]
Jännite on suurin, kun magneettivuon muutosnopeus [[$ \Delta \Phi /\Delta t $]] on suurimmillaan. Piirretään magneettivuon kuvaaja ajan suhteen. [[$ \Delta \Phi /\Delta t $]] määritetään magneettivuon derivaattana eli tangentin kulmakertoimena. Etsitään derivaatan suurin itseisarvo.
Suurimmillaan vuon muutosnopeus on hetkellä 0,53 s.
[[$\quad \dfrac {\Delta \Phi}{\Delta t} \approx -0{,}7361 \text{ mWb/s}$]]
Ratkaistaan käämin kierrosten lukumäärä induktiolaista.
[[$ \quad\begin{align}N&=\dfrac{e}{-\frac {\Delta \Phi}{\Delta t}}\\ \ \\ &=\dfrac{0{,}88 \text { V}}{-0{,}000\ 7361 \text{ Wb/s}} \approx 1\ 200\end{align} $]]
Käämissä on n. 1 200 kierrosta.