Ratkaisut
Monivalintojen vastaukset
1.2. Liike-energian lausekkeen [[$E=\frac{1}{2}mv^2$]] perusteella elektroni saa suuremman nopeuden, koska sen massa on pienempi kuin protonin.
1.3. Hiukkasten radat kaartuvat eri suuntiin, joten niihin kohdistuu erisuuntainen magneettinen voima. Niiden sähkövaraukset ovat siis erimerkkiset.
Oikean käden säännön mukaan magneettinen voima suuntautuu kohti hiukkasen 1 radan keskipistettä, joten hiukkasen 1 varaus on positiivinen.
Newtonin II lain mukaisesta liikeyhtälöstä voidaan johtaa radan säteelle lauseke.
[[$ \begin{align}
\quad QvB&=m\dfrac{v^2}{r} \quad &&||:v \\ \, \\
QB&=m\dfrac{v}{r} &&||\cdot r \\ \, \\
QBr&=mv &&||:QB \\ \, \\
r&=\dfrac{mv}{QB} \\ \, \\
\end{align} $]]
Lausekkeen mukaisesti säteeseen vaikuttavat hiukkasen massa ja nopeus. Ei siis voida päätellä hiukkasten massojen tai nopeuksien suhdetta. Tiedetään ainoastaan, että tulo [[$mv$]] on suurempi hiukkaselle 2.
Tehtävän 2 ratkaisu
Protoni etenee suoraan ja tasaisella nopeudella 22 000 m/s kuvan mukaisessa sähkökentässä, jonka voimakkuus on 1,5 kV/m. Minkä suuntainen on magneettikenttä tilanteessa ja kuinka suuri on sen vuontiheys? (3 p.)
Ratkaisu
Protoniin kohdistuu sähköinen voima, joka on sähkökentän suuntainen eli kuvassa oikealle. Jotta protoni etenee suoraan, täytyy siihen kohdistuvien voimien vektorisumman olla nolla Newtonin II lain mukaisesti. Magneettinen voima suuntautuu siis kuvassa vasemmalle. Oikean käden säännön mukaan magneettikentän suunta on katsojasta poispäin.
Selitetty, että kokonaisvoima on nolla ja kerrottu voimien suunnat. Voimakuvio ei ole välttämätön. Magneettikentän suunta oikein. Kuvio ei ole välttämätön, 1 p.
[[$ \quad \Sigma\bar{F}=\bar{0}$]]
[[$ \quad QE-QvB=0$]]
[[$ \quad B=\dfrac{E}{v}$]]
Voimien summa on nolla, josta ratkaistu lauseke magneettivuon tiheydelle, 1 p.
[[$ \quad B=\mathrm{\dfrac{1500\ \frac{V}{m}}{22000\ \frac{m}{s}}\approx0{,}068\ T}$]]
Lähtöarvot yksiköineen ja oikea vastaus yksiköineen 2–3 numeron tarkkuudella, 1 p.
Tehtävän 3 ratkaisu
Laske, kuinka suuri jännite tarvitaan elektronin kiihdyttämiseksi nopeuteen 15000 km/s. (2 p.)
Ratkaisu
Sähkökenttä tekee kiihdytyksessä työn [[$W=Fs=QEs=QU$]].
Levosta lähtevä elektroni saa tehdyn työn suuruisen liike-energian.
[[$ \quad QU=\frac{1}{2}mv^2$]]
Työperiaate selitetty sanallisesti. Työperiaate ilmaistu yhtälönä, 1 p.
Ratkaistaan jännite.
[[$ \quad U=\dfrac{\frac{1}{2}mv^2}{Q}$]]
[[$ \quad U=\dfrac{\frac{1}{2}mv^2}{Q}=\mathrm{\dfrac{\frac{1}{2}\cdot9{,}109\cdot10^{-31}\ kg\cdot\left(15\ 000\ 000\ \frac{m}{s}\right)^2}{1{,}602\cdot10^{-19}\ C}\approx640\ V}$]]
Ratkaistu lauseke jännitteelle. Oikeat lähtöarvot ja yksiköt sekä oikea vastaus yksiköineen oikealla tarkkuudella, 1 p.
Tehtävän 4 ratkaisu
Ratkaisu
Alfahiukkanen joutuu magneettikentässä tasaiseen ympyräliikkeeseen. Newtonin II lain avulla saadaan ratkaistua ympyräradan säde.
[[$ \quad \sum \bar{F}=m\bar{a}_n $]]
[[$\quad QvB=m\dfrac{v^2}{r}$]]
Newtonin II laki mainittu ja esitetty yleisessä muodossa yhtälönä. Liikeyhtälö, jossa magneettisen voiman ja normaalikiihtyvyyden lausekkeet, 1 p.
[[$ \begin{align}
\quad QvB&=m\dfrac{v^2}{r} \quad &&||:v \\ \, \\
QB&=m\dfrac{v}{r} &&||\cdot r \\ \, \\
QBr&=mv &&||:QB \\ \, \\
r&=\dfrac{mv}{QB} \\ \, \\
\end{align} $]]
[[$\quad r=\dfrac{6,646 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \cdot 45000 \text{ m/s} }{2 \cdot 1,6022 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 0,000 025 \text{ T}}$]]
[[$\quad r= 37,3329\ldots \text{ m} \approx 37\text{ m}$]]
Alfahiukkasen radan säde on noin 37 m.
Oikea lauseke radan säteelle. Oikeat lähtöarvot yksiköineen sekä oikea vastaus 2–3 numeron tarkkuudella, 1 p.