2.1 Haarukointi ja ratkaisujen lukumäärä

212

kahdella desimaalilla suhteellinen virhe on 0,0507%
tehtävässä halutaan suhteellisen virheen olevan alle 0,05%
kolmella desimaalilla suhteellinen virhe on 0,0189%
desimaaliesitykseen tarvitaan siis vähintään kolme desimaalia

222

renkaan halkaisija on senttimetrin tarkkuudella 20cm, eli välillä
$\text{]19,5;20,4999...[}$
absoluuttinen virhe on korkeintaan

$\left|19{,}5-20\right|=0{,}5cm$

lasketaan ympärysmitta pienimmällä sekä pyöristetyllä halkaisijan arvolla

$20\pi\approx62{,}8319...cm$
$19{,}5\pi\approx61{,}2611...cm$

absoluuttinen virhe

$\left|19{,}5\pi-20\pi\right|\approx1{,}5708...cm$

suhteellinen virhe

$0.025641025641027\approx2{,}6\%$

215

$\sqrt[3]{7}\approx1{,}91$

suhteellinen virhe

~2,6%

207

lasketaan kuljettu matka käyttämällä piin tarkkaa arvoa, sitten likiarvolla 3,14

$d=135cm$
$p=\pi d$
$matka=50p=50\pi d=50\cdot\pi\cdot135cm=21205{,}8cm\approx212m$

likiarvolla

$matka=50\cdot3{,}14\cdot135cm=21195cm\approx212m$

absoluuttinen virhe

$\left|21205{,}8-21195\right|=10{,}8cm$

suhteellinen virhe

$\frac{\left|21205{,}8-21195\right|}{\left|21205{,}8\right|}=0{,}000509\approx0{,}05\%$

204

nollakohta on kahden desimaalin tarkkuudella
x=0,16

203

$f\left(x\right)=x^3+3x+3$

$f'\left(x\right)=3x^2+3$

$f'\left(x\right)=0$
derivaattafunktiolla ei ole nollakohtia

mikäli derivaattafunktion arvo jossakin testikohdassa on positiivinen, on funktio kasvava

$f'\left(0\right)=3$

funktio on jatkuva koko määrittelyjoukossaan, eksponenttifunktiot ovat määritelty kaikilla reaaliluvuilla

Bolzanon lauseen nojalla, mikäli funktio on jatkuva ja välin päätepisteiden arvot ovat erimerkkiset, on funktiolla ainakin yksi nollakohta välillä

toisaalta, funktiolla on korkeintaan yksi nollakohta, sillä se on kasvava

väli $\text{]-1, 0[}$

$f\left(-1\right)=-1$
$f\left(0\right)=3$

funktion ainoa nollakohta on välillä $\text{]-1,0[}$

nollakohta on noin x=-0,82

esim

$\sin x=x-2$
$f\left(x\right)=\sin x-x+2$

$f'\left(x\right)=\cos x-1$

koska

$-1\le\cos x\le1$ , joten funktion f'(x) arvot on välillä $-2\le\cos x\le0$

siis derivaattafunktion arvot ovat negatiivisia yksittäisiä nollakohtia lukuunottamatta

Toisinsanoen f(x) on vähenevä

koska funktio on vähenevä, sillä on korkeintaan yksi nollakohta

$f\left(2\right)=\sin2-2+2\approx0{,}9$
$f\left(3\right)\approx-0{,}9$

Bolzanon lauseen nojalla funktiolla on vähintään yksi nollakohta välillä

$\text{]2,3[}$

näin ollen funktiolla on täsmälleen yksi nollakohta välillä $\text{]2,3[}$

nollakohta on välillä $\text{]2,55079; 2,55469[}$

välin päätepisteet pyöristyvät kahden desimaalin tarkkuudella lukuun 2,55, joten nollakohta, eli yhtälön ratkaisu halutulla tarkkuudella on 2,55