Pakonopeus Maan pinnalta

Pakonopeudella tarkoitetaan nopeutta, joka kappaleella on vähintään oltava, jotta se pääsee Maan kiertoradalle putoamatta maanpinnalle. Tämä toteutuu, kun kappale kiertää Maan ympäri radalla, jonka säde on Maan säteen suuruinen. Todellisuudessa kiertorata maanpintaa viistäen ei ole realistinen, koska ilmanvastus hidastaa liikettä ja pudottaa kappaleen Maahan. Pakonopeus ratkaistaan yleisestä gravitaatiolaista.

[[$ \quad v =\sqrt{\gamma\dfrac{M}{r}}$]]

Sijoittamalla tähän Maan massan arvo [[$M= 5{,}97 \cdot$]]​ 10^{24} \ \mathrm{kg}$]] ja säteen suuruus [[$r= 6{,}37 \cdot 10^6 \ \mathrm{m}$]] saadaan pakonopeudeksi 7 910 m/s.

Pakonopeus Maan gravitaatiokentästä

Pakonopeus Maan gravitaatiokentästä on nopeus, jolla kappale ei enää jää Maan kiertolaiseksi, vaan pääsee aurinkokunnassa planeettojen väliseen avaruuteen. Kappaleella on potentiaalienergiaa Maan gravitaatiokentässä. Sillä on oltava liike-energia, joka on suurempi kuin potentiaalienergia, jolloin kappaleen kokonaisenergia on positiivinen:

[[$ \quad \begin{align*}E_\text{P}+E_\text{K}&>0 \\ \,\\ -\gamma\dfrac{mM}{r}+\dfrac{1}{2}mv^2&>0 \\ \end{align*} $]]

Tilannetta voidaan tarkastella lähtötilanteessa maanpinnalta, eli kappaleen liike-energian pitää olla suurempi kuin potentiaalienergia sen ollessa Maan pinnalla. Käytetään säteenä Maan sädettä R ja ratkaistaan nopeus:

[[$ \begin{align*} \quad \dfrac{1}{2}mv^2&>\gamma\dfrac{mM}{R} \\ \, \\ v^2&>2\gamma\dfrac{M}{R} \\ \, \\ v&>\sqrt{2\gamma\dfrac{M}{R}} \\ \end{align*} $]]

Sijoittamalla Maan säteen ja massan arvot lausekkeeseen saadaan pakonopeudeksi Maan gravitaatiokentästä 11 200 m/s.

Geostationäärinen rata

Geostationäärisellä radalla kappale voi pysyä koko ajan saman ekvaattoritasossa olevan maanpinnan paikan yläpuolella. Tällä radalla satelliitin kiertoaika Maan ympäri on sama kuin Maan pyörähdysaika akselinsa ympäri. Geostationäärinen rata on hyvin suosittu satelliittien sijoituspaikka, ja etenkin tietoliikennesatelliitteja sijoitetaan geostationääriselle radalle.

Geostationäärisellä radalla ainoa vaikuttava voima on Maan gravitaatiovoima. Rata on ympyrärata, joten gravitaatiovoiman tulee saada aikaan ympyrärataehdon
mukainen normaalikiihtyvyys [[$a_n=\dfrac{v^2}{r}$]].

Dynamiikan peruslain mukaan [[$ \Sigma \bar{F}=m\bar{a}$]], eli nyt

[[$\begin{align*} G&=ma_n \\ \, \\ \quad \gamma\dfrac{mM}{r^2}&=m\dfrac{v^2}{r} \\ \, \\ \gamma\dfrac{M}{r}&=v^2 \\ \end{align*} $]]

Liike tapahtuu tasaisella nopeudella, eli nopeus [[$ v=\dfrac{s}{t}=\dfrac{2\pi r}{T} $]]. Sijoitetaan tämä aiempaan yhtälöön ja ratkaistaan radan säde:

[[$\begin{align*} \quad \gamma\dfrac{M}{r}&=\left(\dfrac{2\pi r}{T}\right)^2 \\ \, \\ \gamma\dfrac{M}{r}&=\dfrac{4\pi^2 r^2}{T^2} \\ \, \\ \quad \gamma M T^2&=4\pi^2r^3 \\ \, \\ r^3&=\dfrac{\gamma M T^2}{4\pi^2} \\ \, \\ r&=\sqrt[3]{\dfrac{\gamma MT^2}{4\pi^2}} \\ \end{align*}$]]

Sijoitetaan lukuarvot [[$ \gamma=\text{6,674}\cdot 10^{-11} \dfrac{\text{Nm}^2}{\text{kg}^2} \text{, } M=\text{5,97}\cdot 10^{24} \textrm{ kg} \text{ ja } T=24\cdot 3\,600\text{ s}. $]] Säteeksi saadaan

[[$ \begin{align*} \quad r&=\sqrt[3]{\dfrac{\text{6,674}\cdot 10^{-11}\dfrac{\text{Nm}^2}{\text{kg}^2}\cdot \text{5,97}\cdot 10^{24}\text{ kg}\cdot\left(24\cdot3\,600\text{ s}\right)^2}{4\pi^2}} \\ \, \\ &=\text{4,2235}\dotso\cdot10^7\text{ m}\approx42\,000\text{ km} \end{align*}$]]​

Lagrangen piste

Lagrangen pisteeksi kutsutaan paikkaa, jossa kahden kappaleen aiheuttamat gravitaatiovuorovaikutukset saavat pisteessä sijaitsevan kolmannen kappaleen pysymään paikallaan gravitaatiovuorovaikutusta aiheuttaviin kappaleisiin nähden. Lagrangen pisteitä on viisi Maan ympäristössä. Uuden sukupolven avaruusteleskooppi James Webb on määrä lähettää Lagrangen 2. pisteeseen 2020-luvun alussa. Piste sijaitsee Maan takana. Tässä sijainnissa Maan ja Auringon gravitaatiovuorovaikutukset summautuvat sellaisiksi, että satelliitti kiertää Aurinkoa samassa tahdissa kuin Maa. Pisteet ovat saaneet nimensä ranskalaisen matemaatikon Joseph-Louis Lagrangen (1736–1813) mukaan, joka laski ensimmäisenä niiden sijainnin.