Esimerkkitilanteita
Keinulaudan tasapaino
Tutkitaan keinulaudan, tytön ja naisen muodostaman systeemin tasapainoa.
Keskeltä tuettu keinulauta on tasapainossa pyörimisen suhteen, kun kiertoakselin suhteen kohdistuvien momenttien summa on nolla. Keinulautaan kohdistuva kokonaismomentti kirjoitetaan lausekkeena seuraavasti: [[$ \sum M_A = 0 $]]. Tyttöön kohdistuva paino pyrkii vääntämään keinulautaa vastapäivään ja naiseen kohdistuva paino myötäpäivään. Valitaan kiertosuunta vastapäivään positiiviseksi. Kirjoitetaan lauseke kokonaismomentille.
[[$ \quad M_1-M_2=0 $]]
Olkoon tytön massa [[$m_1$]] ja naisen massa [[$m_2$]]. Painojen vaikutuspisteiden kohtisuorat etäisyydet kiertoakselista ovat [[$r_1$]] ja [[$r_2$]]. Sijoitetaan nämä aiempaan yhtälöön:
[[$\begin{align*} \quad G_1r_1-G_2r_2&=0 \\ \,\\ \quad m_1gr_1-m_2gr_2&=0 \\ \end{align*}$]]
Momenttiyhtälön avulla voidaan verrata tytön ja naisen massoja sekä heidän etäisyyksiä kiertoakseliin.
[[$\quad m_1r_1=m_2r_2 $]]
Jotta keinulauta olisi tasapainossa, massaltaan pienemmän tytön on oltava kauempana kiertoakselista kuin naisen.
Tikapuiden kannattelu
Tarkastellaan tilannetta, jossa kaksi ihmistä kannattelee tikapuita.
Henkilöt kannattelevat tikapuita voimilla [[$F_1$]] ja [[$F_2$]]. Valitaan suunnat ylös ja vastapäivään positiiviseksi ja suunnat alas ja myötäpäivään negatiivisiksi. Voimien etäisyydet painopisteistä ovat [[$r_1$]] ja [[$r_2$]].
Koska tikapuut eivät ole kiihtyvässä liikkeessä eikä niiden asento muutu, ne ovat tasapainossa sekä etenemisen että pyörimisen suhteen.
Dynamiikan peruslaki
Tikapuihin kohdistuu paino [[$G$]] sekä kantajien kohdistamat voimat [[$F_1$]] ja [[$F_2$]].
[[$ \begin{align*} \sum \overline{F}&=\overline{0} \\ \, \\ \quad \overline{F}_1+\overline{F}_2+\overline{G}&=\overline{0} \\ \, \\ F_1+F_2-G&=0 \\ \, \\ F_1+F_2&=G \\ \end{align*} $]]
Momenttiehto
Kiertoakselin saa valita tarkastelussaan itse. Kiertoakseli kannattaa valita siten, että mahdollisimman monen tuntemattoman voiman vaikutussuora kulkee sen kautta.
Valitaan tikapuiden painopiste kiertoakseliksi, jonka suhteen momentteja tarkastellaan.
[[$ \begin{align*}\quad \sum M_A&=0 \\ \, \\ \quad M_1-M_2&=0 \\ \, \\ \quad F_1r_1-F_2r_2&=0 \\ \, \\ F_1r_1&=F_2r_2 \\ \end{align*} $]]
Dynamiikan peruslaista ja momenttiehdosta saadaan yhtälöpari
[[$\quad \begin{cases}F_1+F_2=mg \\ F_1r_1=F_2r_2 \\ \end{cases}$]]
Tästä voidaan ratkaista mitkä tahansa kaksi suuretta, jos kaikki muut tiedetään. Jos esimerkiksi tikapuiden massa ja henkilöiden kannatusetäisyydet ovat tiedossa, voidaan ratkaista voimat, joilla henkilöt kannattelevat tikapuita.
Alla olevassa sovelmassa voit tutkia, miten voimien vaikutuspisteiden muuttaminen vaikuttaa voimien suuruuteen. Tikapuiden pituudeksi oletetaan 6,2 metriä ja massaksi 17 kg.
Sovelmassa voit muuttaa kohtia, joista tikapuita kannatellaan. Sovelma laskee tarvittavat tukivoimat ja näyttää, että tasapainoehto täyttyy.
Mitä lähempänä kantaja on tikapuun painopistettä, sitä suurempi on tikapuiden kannattelemiseen tarvittava voima. Huomataan myös, että kantajien voimien summa on koko ajan yhtä suuri kuin tikapuiden paino dynamiikan peruslain perusteella.