Esimerkkitilanteita

Kalan nosto vedestä

 

Siimassa roikkuu kala. Onkea nykäistään ylöspäin, jolloin kala lähtee liikkeelle kiihtyvyydellä [[$a$]].

Kalaan vaikuttavat siiman tukivoima [[$T$]] ja paino [[$G$]].

Kokonaisvoima on kiihtyvyyden suuntainen ja sen suunta on ylöspäin, joten [[$T>G$]].

Kiihtyvässä liikkeessä dynamiikan peruslain [[$\Sigma \bar{F}=m\bar{a}$]] mukainen liikeyhtälö on

[[$\quad \bar{T}+\bar{G}=m\bar{a}.$]]

Valitaan positiivinen suunta ylöspäin (kiihtyvyyden suunta), jolloin skalaarimuotoinen liikeyhtälö on

[[$ \quad T-G=ma $]]

Painolla on määritelmä taulukkokirjassa.

Painon määritelmä
[[$\quad G=mg$]]

Jäällä liukuva kiekko

Jääkiekko liukuu tasaista jäätä pitkin.

Kiekkoon vaikuttavat paino [[$(G)$]], pinnan tukivoima [[$(N)$]], sekä liukukitka [[$(F_\mu)$]]. Kiekko on kiihtyvässä (hidastuvassa) liikkeessä. Kiihtyvyyden ja kokonaisvoiman suunta on liikkeen suuntaa vastaan.

Piirretään kiekon voimakuvio. Merkitään voimakuvion yhteyteen myös nopeus- ja kiihtyvyysvektorit. Valitaan positiivinen [[$x$]]-suunta kiihtyvyyden suuntaiseksi. Positiivinen [[$y$]]-suunta on ylöspäin.

Dynamiikan peruslain mukaan kiihtyvässä liikkeessä pätee [[$ \Sigma \bar{F}=m\bar{a}$]].

Kiekkoon vaikuttavien voimien summa
[[$ \quad \bar{N}+\bar{G} +{\bar{F}}_{\mu} =m\bar{a} $]]

Vektorimuotoinen liikeyhtälö voidaan jakaa [[$x$]]- ja [[$y$]]-suuntaisiin skalaariyhtälöihin. [[$x$]]-suunnassa vaikuttaa kitkavoima, [[$y$]]-suunnassa tukivoima ja paino. Koska kiekko ei liiku pystysuunnassa, on kiihtyvyys [[$y$]]-suunnassa nolla.

[[$x$]]-suunta:
[[$F_{\mu} =ma $]]

[[$y$]]-suunta:
[[$N-G=0$]]

Painolla ja kitkalla on määritelmät taulukkokirjassa.

Painon määritelmä
[[$\quad G=mg$]]

Kitkan määritelmä
[[$\quad F_\mu=\mu N$]]

Kitkan määritelmä yhdistää vaaka- ja pystysuuntaisen osan toisiinsa.

Kappaletta vedetään tasolla

Kappaletta vedetään vinolla ylöspäin suuntautuvalla voimalla vaakasuuntaisella tasolla. Kappale on tasaisessa liikkeessä.

Kappaleeseen vaikuttavat voimat ovat paino [[$(G)$]], pinnan tukivoima [[$(N)$]], liukukitka [[$(F_\mu)$]] ja vetävä voima [[$(F)$]]. Tasaisessa liikkeessä kokonaisvoima on nolla eli voimat kumoavat toisensa vaikutuksen.

Vaakasuunnassa kappaleeseen vaikuttavat liukukitka ja vetävän voiman vaakasuuntainen komponentti [[$(F_x)$]]. Ne vaikuttavat vastakkaisiin suuntiin ja kumoavat toisensa.

Pystysuunnassa kappaleeseen vaikuttavat paino, pinnan tukivoima ja vetävän voiman pystysuuntainen komponentti [[$(F_y)$]]. Painon suunta on alaspäin ja se kumoaa pinnan tukivoiman ja vetävän voiman pystykomponentin vaikutuksen.

Dynamiikan peruslain mukaan voimien summa on nolla.
[[$\quad \bar{G}+\bar{N}+\bar{F_\mu}+\bar{F}=\bar{0}$]]

[[$x$]]-suunta:
[[$\begin{align*}\quad F_x-F_\mu=0 \\ F\cos \alpha -F_\mu =0 \end{align*}$]]

[[$y$]]-suunta:
[[$\begin{align*}\quad N+F_y-G=0 \\ N+F\sin \alpha -G=0 \end{align*}$]]

Painolla ja kitkalla on määritelmä taulukkokirjassa.

Painon määritelmä
[[$\quad G=mg$]]

Kitkan määritelmä
[[$\quad F_\mu = \mu N$]]

Kitkan määritelmä yhdistää vaaka- ja pystysuuntaisen osan toisiinsa.

Mäenlasku

Tarkastellaan tilannetta, jossa pulkka liukuu alamäkeen kiihtyvästi.

Pulkkaa ja lasta voidaan ajatella yhtenä kappaleena, johon kohdistuu paino [[$(G)$]], liukukitka [[$(F_{\mu})$]]​ ja pinnan tukivoima [[$(N)$]].

Valitaan positiivinen [[$x$]]-suunta kiihtyvyyden suuntaiseksi eli tason suuntaan alaspäin. Positiivinen [[$y$]]-suunta on tason pinnasta kohtisuoraan ylöspäin.

Liikeyhtälöiden kirjoittamiseksi jaetaan paino [[$x$]]- ja [[$y$]]-suuntaisiin komponentteihin. Painon ja sen [[$y$]]-komponentin välinen kulma on yhtä suuri kuin tasoon kaltevuuskulma [[$ \alpha $]]​.

Painon komponenttien lausekkeet ovat

[[$\begin{align*} \quad G_y=G \cos \alpha \\ G_x=G \sin \alpha\end{align*}$]]

Dynamiikan peruslain mukaan kiihtyvässä liikkeessä pätee [[$ \Sigma \bar{F}=m\bar{a}$]], eli

[[$ \quad \bar{N}+\bar{G} +{\bar{F}}_{\mu} =m\bar{a}$]]

Vektorimuotoinen liikeyhtälö voidaan jakaa [[$x$]]- ja [[$y$]]-suuntaisiin skalaariyhtälöihin:

[[$x$]]-suunta:
[[$\begin{align*}\quad G_x- F_{\mu}=ma \\ G\sin \alpha -F_{\mu}=ma\end{align*}$]]

[[$y$]]-suunta:
[[$\begin{align*}\quad N-G_y=0 \\ N-G\cos \alpha = 0\end{align*}$]]​

Painolla ja kitkalla on määritelmä taulukkokirjassa.

Painon määritelmä
[[$\quad G=mg$]]

Kitkan määritelmä
[[$\quad F_\mu = \mu N$]]

Kitkan määritelmä yhdistää [[$x$]]- ja [[$y$]]-suuntaisen osan toisiinsa.