Teoria

Kertaus

$s\left(x\right)=x^3+1{,}\ u\left(x\right)=x^{-1}{,}\ s'\left(x\right)=3x^2{,}\ U=\ln\left|x\right|$

$\int_{ }^{ }\frac{6x^2}{x^3+1}dx=\int_{ }^{ }6x^2\cdot\left(x^3+1\right)^{-1}dx=\int_{ }^{ }6x^2\left(x^3+1\right)^{-1}dx$

$=\int_{ }^{ }2\cdot3x^2\left(x^3+x\right)^{-1}dx=2\int_{ }^{ }3x^2\left(x^3+1\right)^{-1}dx=2\ln\left|x^3+1\right|+C$

$=2\ln\left(x^3+1\right)+C{,}\ x>-1$

Esimerkki

Laske paraabelin ja suoran rajaaman alueen pinta.ala

Paraabelin akseli on y-akselin suuntainen, jolloin sen yhtälö on muotoa

$y=ax^2+bx+c$

Paraabeli kulkee pisteiden (3,4), (6,2) ja (9,4) kautta, joten pisteiden koordinaatit toteuttaat paraabelin yhälön.

Saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan vakiot a, b ja c laskimella.

$\begin{cases} a\cdot3^2+b\cdot3+c=4\\ a\cdot6^2+b\cdot6+c=2\\ a\cdot9^2+b\cdot9+c=4 \end{cases}$

$\begin{cases} 9a\cdot3b+c=4\\ 36a+6b+c=2\\ 81a+9b+c=4 \end{cases}$

$a=\frac{2}{9}{,}\ b=-\frac{8}{3}{,}\ c=10$

Paraabelin yhtälö on

$f\left(x\right)=\frac{2}{9}x^2-\frac{8}{3}x+10$

Suora kulkee pisteiden (2,0) ja (5,2) kautta

Suoran kulmakerroin on

$k=\frac{2-0}{5-2}=\frac{2}{3}$
$y-0=\frac{2}{3}\left(x-2\right)$
$y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}$

Suoran yhtälö on $g\left(x\right)=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}$

Lasketaan suoran ja paraabelin leikkauskohta

Ratkaistaan laskimella yhtälö f(x)=g(x)

Saadaan ratkaisuksi $x=\frac{-\sqrt[]{21}+15}{2}\approx5{,}21\ tai\ x=\frac{\sqrt[]{21}+15}{2}\approx9{,}79$

Selvitetään käyrien järjestys. Valitaan testikohta x=7 leikkauskohtien välistä ja lasketaan käyrien arvot tässä kohdassa laskimella

$f\left(7\right)=\frac{20}{9}$ ja $g\left(7\right)=\frac{10}{3}$

g(x)>f(x) eli käyrä g(x) on ylempänä

Pinta-ala on

$A=\int_{\frac{-\sqrt[]{21}+15}{2}}^{\frac{\sqrt[]{21}+15}{2}}\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)dx=\frac{7\sqrt[]{21}}{9}\approx3{,}56$

Esimerkki. Ympyrä $x^2+y^2=9$ pyörähtää x-akselin ympäri, jolloin syntyy pallo. Määritä pallon tilavuus integroimalla.

Ratkaistaan y ympyrän yhtälöstä

$y^2=9-x^2$

$y=\pm\sqrt[]{9-x^2}$

Saa pallo syntyy, kun ympyrän x-akselin yläpuolinen osa pyörähtää x-akselin ympäri

Tämän osan lauseke on $y=\sqrt[]{9-x^2}=f\left(x\right)$

Ratkaistaan yhtälön f(x) nollakohdat

$\sqrt[]{9-x^2}=0$
$x=-3\ tai\ x=3$

Pallon tilavuus on $V=\pi\int_{-3}^3\left(\sqrt[]{9-x^2}\right)^2dx=36\pi$

5.1 Pyörähdyskappaleen tilavuus

s.107 Ennakkotehtävä 1

b) Pyörähdyskappale on ympyräkartio, jonka tilavuus on

$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$

Välillä [0,x] sen korkeus h=x ja pohjan säden on funktion f arvo kohdassa x eli r=x

$V\left(x\right)=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot x=\frac{1}{3}\pi x^3$

c) $V'\left(x\right)=\pi x^2$

Tilavuusfunktion muutosnopeus kohdassa x on kappeleen poikkileikkausympyrän pinta-ala kohdassa x.

d) Koska tilavuuden muutosnopeus on pohjan pinta-ala, niin saadaan tilavuus välillä [2,6] määrättynä integraalina

$\int_2^6A\left(x\right)dx=\int_2^6\pi x^2dx=\pi\bigg/_{\!\!\!\!\!2}^6\frac{1}{3}x^3=\pi\left(\frac{1}{3}\cdot6^3-\frac{1}{3}\cdot2^3\right)=69\frac{1}{3}\pi$

Lause

Olkoon f välillä [a,b] jatkuva funktio. Funktion f kuvaajan x-akselin ympäri pyörähdyskappale, jonka tilavuus on

$V=\pi\int_a^bf\left(x\right)^2dx$

4.2 Kahden käyrän rajaaman alueen pinta-ala

Olkoon f ja g jatkuva funktioita ja f>g välillä [a,b]. Tällöin funktioiden väliin jäävä pinta-ala on

$A=\int_a^bf\left(x\right)dx-\int_a^bg\left(x\right)dx=\int_a^b\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)$

Tämä toimii myös silloin, kun väliin jäävä alue on kokonaan tai osittain x-akselin alapuolella.

Laskuissa huomioitavaa:

Selvitä integromisväli eli laske käyrien leikkauspisteet.

Selvitä kumpifunktio kulkee ylempänä eli kumman funktion arvot ovat suurempia testipisteiden avulla.

Esimerkki

Suora $g\left(x\right)=2x$ ja funktion $f\left(x\right)=x^3+x^2$ kuvaajat rajaavat kaksiosaisen alueen. Laske sen pinta-ala

Lasketaan leikkauskohdat

$g\left(x\right)=f\left(x\right)$

$2x=x^3+x^2$
$x^3+x^2-2x=0$
$x=-2\ tai\ x=0\ tai\ x=1\ \left(Laskin\right)$

Funktioiden suurus järjestys voi muuttua vain leikkauspisteissä

Valitaan väliltä [-2,0] testipisteeksi x=-1 ja väliltä [0,1] x=1/2

Välillä [-2,0] f(x)>g(x), joten pinta-ala on

$A=\int_{-2}^0\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx=\int_{-2}^0\left(x^3-x^2-2x\right)dx=\frac{8}{3}$ (Laskin)

Välillä [0,1] g(x)>f(x), joten pinta-ala on

$A=\int_0^1\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)dx=\int_0^1\left(2x-x^3-x^2\right)dx=\frac{5}{12}$ (Laskin)

Kysytty pinta-ala on

$\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}=3\frac{1}{12}$

4.1 Funktion kuvaajan rajaaman alueen pinta-ala

Lause

Olkoon f jatkuva välillä [a,b] ja olkoon A sen alueen pinta-ala, jota rajaaat funktion f kuvaaja, x-akseli ja suorat

x=a ja x=b. Tällöin

a) Jos f(x)≥0 välillä [a,b], niin

$A=\int_a^bf\left(x\right)dx$

b) Jos f(x)≤0 välillä [a,b], niin

$A=\int_a^b-f\left(x\right)dx=-\int_a^bf\left(x\right)dx$

406

$f\left(x\right)=x^3+x^2-2x$

Funktion f(x) nollakohdat

$x^3+x^2-2x=0$

$x\left(x^2+x-2\right)=0$
$x=0$ tai $x=\frac{-1\pm\sqrt[]{1^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot1}=\frac{-1\pm3}{2}$

$x=\frac{-1+3}{2}=1$
$x=\frac{-1-3}{2}=-2$

Ensimmäinen alue on [-2,0] ja toinen alue on välillä [0,1].

Selvitetään funktion f merkit testikohtien x=-1 ja x=1/2 avulla

$f\left(-1\right)=2>0$
$f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{5}{8}<0$

Välillä [-2,0] on f(x)≥0, joten pinta-ala on

$A=\int_{-2}^0\left(x^3+x^2-2x\right)dx=\bigg/_{\!\!\!\!\!{-2}}^0\left(\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-x^2\right)$
$=0-\left(\frac{1}{4}\cdot\left(-2\right)^4+\frac{1}{3}\cdot\left(-2\right)^3-\left(-2\right)^2\right)=\frac{8}{3}$

Välillä [0,1] on f(x)≤0, joten pinta-ala on

$A=-\int_0^1f\left(x\right)dx=-\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^1\left(\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-x^2\right)$

$=-\left(\frac{1}{4}\cdot1^4+\frac{1}{3}\cdot1^3-1^2-0\right)=\frac{5}{12}$

Pinta-ala on

$A=\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}=3\frac{1}{12}$

Esim. Määritä käyrän $x=y^2-1$ ja y-akselin väliin jäävä pinta-ala.

Ratkaistaan käyrän ja y-akselin leikkauskohdat

Leikakaukohdissa x=0.

$y^2-1=0$

$y^2=1$
$y=1$ tai $y=-1$

Välillä [-1,1] käyrän $\text{y}^2-1$ arvot ovat negatiivisia, koska esimerkiksi kun y=0, niin $y^2-1=-1<0$

Kysytty pinta-ala on

$A=-\int_{-1}^1\left(y^2-1\right)dy=-\bigg/_{\!\!\!\!\!{-1}}^1\left(\frac{1}{3}y^3-y\right)$

$=-\left(\frac{1}{3}\cdot1^3-1-\left(\frac{1}{3}\cdot\left(-1\right)^3-\left(-1\right)\right)\right)$

$=-\left(\frac{1}{3}-1-\left(-\frac{1}{3}+1\right)\right)$
$=-\left(\frac{1}{3}-1+\frac{1}{3}-1\right)=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$

3.1 Pinta-alaunktio

Lause

Olkoon f välillä [a,b] jatkuva ja ei-negatiivinen funktio, ja olkoon A(x) funktion f kuvaajan ja x-akselin välillä [a,x] rajoittaman alueen pinta-ala. Tällöin $A'\left(x\right)=f\left(x\right)$

Toisin sanoen pinta-alafunktio A on funktion f eräs integraalifunktio.

305

$f\left(x\right)=x^2+1$

$A\left(x\right)\int_{ }^{ }f\left(x\right)dx=\int_{ }^{ }x^2+1=\frac{1}{2+1}x^{2+1}+x^{1+1}+C=\frac{1}{3}x^3+x^2+C{,}\ C\in\mathbb{R}$

Pinta-ala on nolla, kun x=0 eli

$\frac{1}{3}\cdot0^3+0+C=0$

$C=0$

Pinta-alafunktio on $A\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3+x$

b) Välillä [1,3] pinta-ala on

$A\left(3\right)-A\left(1\right)=\frac{1}{3}\cdot3^3+3-\left(\frac{1}{3}\cdot1^3+1\right)=9+3-\frac{1}{3}-1=12-\frac{1}{3}=10\frac{2}{3}$

Määritä pinta-ala geogebralla

Huomautus: Integroimisvakiota C ei välttämättä tarvitse määrittää pinta-alaa laskettaessa.

Esim. Jos tehtävässä 305 ei olisi a-kohtaa, niin b-kohdan pinta.ala saataisiin seuraavasti

$A\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3+x^2+C{,}\ C\in\mathbb{R}$

$A\left(3\right)-A\left(1\right)=\frac{1}{3}3^3+3+C-\left(\frac{1}{3}\cdot1^3+1+C\right)=9+3+C-\frac{1}{3}-1-C=10\frac{2}{3}$