Kertaus

$s\left(x\right)=x^3+1{,}\ u\left(x\right)=x^{-1}{,}\ s'\left(x\right)=3x^2{,}\ U=\ln\left|x\right|$

$\int_{ }^{ }\frac{6x^2}{x^3+1}dx=\int_{ }^{ }6x^2\cdot\left(x^3+1\right)^{-1}dx=\int_{ }^{ }6x^2\left(x^3+1\right)^{-1}dx$

$=\int_{ }^{ }2\cdot3x^2\left(x^3+x\right)^{-1}dx=2\int_{ }^{ }3x^2\left(x^3+1\right)^{-1}dx=2\ln\left|x^3+1\right|+C$

$=2\ln\left(x^3+1\right)+C{,}\ x>-1$

Esimerkki

Laske paraabelin ja suoran rajaaman alueen pinta.ala

Paraabelin akseli on y-akselin suuntainen, jolloin sen yhtälö on muotoa

$y=ax^2+bx+c$

Paraabeli kulkee pisteiden (3,4), (6,2) ja (9,4) kautta, joten pisteiden koordinaatit toteuttaat paraabelin yhälön.

Saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan vakiot a, b ja c laskimella.

$\begin{cases} a\cdot3^2+b\cdot3+c=4\\ a\cdot6^2+b\cdot6+c=2\\ a\cdot9^2+b\cdot9+c=4 \end{cases}$

$\begin{cases} 9a\cdot3b+c=4\\ 36a+6b+c=2\\ 81a+9b+c=4 \end{cases}$

$a=\frac{2}{9}{,}\ b=-\frac{8}{3}{,}\ c=10$

Paraabelin yhtälö on

$f\left(x\right)=\frac{2}{9}x^2-\frac{8}{3}x+10$

Suora kulkee pisteiden (2,0) ja (5,2) kautta

Suoran kulmakerroin on

$k=\frac{2-0}{5-2}=\frac{2}{3}$
$y-0=\frac{2}{3}\left(x-2\right)$
$y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}$

Suoran yhtälö on $g\left(x\right)=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}$

Lasketaan suoran ja paraabelin leikkauskohta

Ratkaistaan laskimella yhtälö f(x)=g(x)

Saadaan ratkaisuksi $x=\frac{-\sqrt[]{21}+15}{2}\approx5{,}21\ tai\ x=\frac{\sqrt[]{21}+15}{2}\approx9{,}79$

Selvitetään käyrien järjestys. Valitaan testikohta x=7 leikkauskohtien välistä ja lasketaan käyrien arvot tässä kohdassa laskimella

$f\left(7\right)=\frac{20}{9}$ ja $g\left(7\right)=\frac{10}{3}$

g(x)>f(x) eli käyrä g(x) on ylempänä

Pinta-ala on

$A=\int_{\frac{-\sqrt[]{21}+15}{2}}^{\frac{\sqrt[]{21}+15}{2}}\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)dx=\frac{7\sqrt[]{21}}{9}\approx3{,}56$

Esimerkki. Ympyrä $x^2+y^2=9$ pyörähtää x-akselin ympäri, jolloin syntyy pallo. Määritä pallon tilavuus integroimalla.

Ratkaistaan y ympyrän yhtälöstä

$y^2=9-x^2$

$y=\pm\sqrt[]{9-x^2}$

Saa pallo syntyy, kun ympyrän x-akselin yläpuolinen osa pyörähtää x-akselin ympäri

Tämän osan lauseke on $y=\sqrt[]{9-x^2}=f\left(x\right)$

Ratkaistaan yhtälön f(x) nollakohdat

$\sqrt[]{9-x^2}=0$
$x=-3\ tai\ x=3$

Pallon tilavuus on $V=\pi\int_{-3}^3\left(\sqrt[]{9-x^2}\right)^2dx=36\pi$