4.2 Kahden käyrän rajaaman alueen pinta-ala

Olkoon f ja g jatkuva funktioita ja f>g välillä [a,b]. Tällöin funktioiden väliin jäävä pinta-ala on

$A=\int_a^bf\left(x\right)dx-\int_a^bg\left(x\right)dx=\int_a^b\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)$

Tämä toimii myös silloin, kun väliin jäävä alue on kokonaan tai osittain x-akselin alapuolella.

Laskuissa huomioitavaa:

Selvitä integromisväli eli laske käyrien leikkauspisteet.

Selvitä kumpifunktio kulkee ylempänä eli kumman funktion arvot ovat suurempia testipisteiden avulla.

Esimerkki

Suora $g\left(x\right)=2x$ ja funktion $f\left(x\right)=x^3+x^2$ kuvaajat rajaavat kaksiosaisen alueen. Laske sen pinta-ala

Lasketaan leikkauskohdat

$g\left(x\right)=f\left(x\right)$

$2x=x^3+x^2$
$x^3+x^2-2x=0$
$x=-2\ tai\ x=0\ tai\ x=1\ \left(Laskin\right)$

Funktioiden suurus järjestys voi muuttua vain leikkauspisteissä

Valitaan väliltä [-2,0] testipisteeksi x=-1 ja väliltä [0,1] x=1/2

Välillä [-2,0] f(x)>g(x), joten pinta-ala on

$A=\int_{-2}^0\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx=\int_{-2}^0\left(x^3-x^2-2x\right)dx=\frac{8}{3}$ (Laskin)

Välillä [0,1] g(x)>f(x), joten pinta-ala on

$A=\int_0^1\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)dx=\int_0^1\left(2x-x^3-x^2\right)dx=\frac{5}{12}$ (Laskin)

Kysytty pinta-ala on

$\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}=3\frac{1}{12}$