3.1 Pinta-alaunktio

Lause

Olkoon f välillä [a,b] jatkuva ja ei-negatiivinen funktio, ja olkoon A(x) funktion f kuvaajan ja x-akselin välillä [a,x] rajoittaman alueen pinta-ala. Tällöin $A'\left(x\right)=f\left(x\right)$

Toisin sanoen pinta-alafunktio A on funktion f eräs integraalifunktio.

305

$f\left(x\right)=x^2+1$

$A\left(x\right)\int_{ }^{ }f\left(x\right)dx=\int_{ }^{ }x^2+1=\frac{1}{2+1}x^{2+1}+x^{1+1}+C=\frac{1}{3}x^3+x^2+C{,}\ C\in\mathbb{R}$

Pinta-ala on nolla, kun x=0 eli

$\frac{1}{3}\cdot0^3+0+C=0$

$C=0$

Pinta-alafunktio on $A\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3+x$

b) Välillä [1,3] pinta-ala on

$A\left(3\right)-A\left(1\right)=\frac{1}{3}\cdot3^3+3-\left(\frac{1}{3}\cdot1^3+1\right)=9+3-\frac{1}{3}-1=12-\frac{1}{3}=10\frac{2}{3}$

Määritä pinta-ala geogebralla

Huomautus: Integroimisvakiota C ei välttämättä tarvitse määrittää pinta-alaa laskettaessa.

Esim. Jos tehtävässä 305 ei olisi a-kohtaa, niin b-kohdan pinta.ala saataisiin seuraavasti

$A\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3+x^2+C{,}\ C\in\mathbb{R}$

$A\left(3\right)-A\left(1\right)=\frac{1}{3}3^3+3+C-\left(\frac{1}{3}\cdot1^3+1+C\right)=9+3+C-\frac{1}{3}-1-C=10\frac{2}{3}$