4.1 Funktion kuvaajan rajaaman alueen pinta-ala

Lause

Olkoon f jatkuva välillä [a,b] ja olkoon A sen alueen pinta-ala, jota rajaaat funktion f kuvaaja, x-akseli ja suorat

x=a ja x=b. Tällöin

a) Jos f(x)≥0 välillä [a,b], niin

$A=\int_a^bf\left(x\right)dx$

b) Jos f(x)≤0 välillä [a,b], niin

$A=\int_a^b-f\left(x\right)dx=-\int_a^bf\left(x\right)dx$

406

$f\left(x\right)=x^3+x^2-2x$

Funktion f(x) nollakohdat

$x^3+x^2-2x=0$

$x\left(x^2+x-2\right)=0$
$x=0$ tai $x=\frac{-1\pm\sqrt[]{1^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot1}=\frac{-1\pm3}{2}$

$x=\frac{-1+3}{2}=1$
$x=\frac{-1-3}{2}=-2$

Ensimmäinen alue on [-2,0] ja toinen alue on välillä [0,1].

Selvitetään funktion f merkit testikohtien x=-1 ja x=1/2 avulla

$f\left(-1\right)=2>0$
$f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{5}{8}<0$

Välillä [-2,0] on f(x)≥0, joten pinta-ala on

$A=\int_{-2}^0\left(x^3+x^2-2x\right)dx=\bigg/_{\!\!\!\!\!{-2}}^0\left(\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-x^2\right)$
$=0-\left(\frac{1}{4}\cdot\left(-2\right)^4+\frac{1}{3}\cdot\left(-2\right)^3-\left(-2\right)^2\right)=\frac{8}{3}$

Välillä [0,1] on f(x)≤0, joten pinta-ala on

$A=-\int_0^1f\left(x\right)dx=-\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^1\left(\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-x^2\right)$

$=-\left(\frac{1}{4}\cdot1^4+\frac{1}{3}\cdot1^3-1^2-0\right)=\frac{5}{12}$

Pinta-ala on

$A=\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}=3\frac{1}{12}$

Esim. Määritä käyrän $x=y^2-1$ ja y-akselin väliin jäävä pinta-ala.

Ratkaistaan käyrän ja y-akselin leikkauskohdat

Leikakaukohdissa x=0.

$y^2-1=0$

$y^2=1$
$y=1$ tai $y=-1$

Välillä [-1,1] käyrän $\text{y}^2-1$ arvot ovat negatiivisia, koska esimerkiksi kun y=0, niin $y^2-1=-1<0$

Kysytty pinta-ala on

$A=-\int_{-1}^1\left(y^2-1\right)dy=-\bigg/_{\!\!\!\!\!{-1}}^1\left(\frac{1}{3}y^3-y\right)$

$=-\left(\frac{1}{3}\cdot1^3-1-\left(\frac{1}{3}\cdot\left(-1\right)^3-\left(-1\right)\right)\right)$

$=-\left(\frac{1}{3}-1-\left(-\frac{1}{3}+1\right)\right)$
$=-\left(\frac{1}{3}-1+\frac{1}{3}-1\right)=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$