Radioaktiivinen ydin muuttuu hajotessaan toiseksi ytimeksi. Aktiivisten ydinten määrä siis vähenee ajan kuluessa. Näytteen aktiivisuus on määritelmänsä [[$ A=\lambda N $]]​ mukaan suoraan verrannollinen aktiivisten ydinten lukumäärään. Siksi myös aktiivisuus vähenee, mikä havaittiin johdantovideolla. Tarkastellaan, millaisella matemaattisella mallilla voidaan esittää ydinten lukumäärän riippuvuutta ajasta.

Yhden becquerelin aktiivisuus tarkoittaa, että aktiivisten ydinten määrä vähenee yhdellä sekunnissa. Aktiivisuus ilmaisee yleisemmin ydinten määrän muutosnopeuden. Määrän väheneminen tarkoittaa negatiivista muutosta, eli

 

[[$ \quad -A=\dfrac{\Delta N}{\Delta t} $]]

 

Ydinten määrä ajan funktiona merkitään [[$ N(t) $]]​. Aktiivisuus on tällöin [[$ \lambda N(t) $]], ja muutosnopeus on ydinten lukumäärän derivaatta. Edellinen yhtälö voidaan siis muotoilla seuraavasti:

 

[[$ \quad N'(t)=-\lambda N(t)$]]

 

Yhtälö, jossa esiintyy funktio ja sen derivaatta, on niin sanottu differentiaaliyhtälö. Differentiaaliyhtälöitä ei käsitellä lukiomatematiikassa, mutta ratkaisu voidaan päätellä. Yhtälön toteuttavat funktiot, jotka ovat muotoa [[$ N(t) = ke^{-\lambda t} $]]​, jossa k on vakio. Tämä voidaan todeta yhdistetyn funktion ja eksponenttifunktion derivointisääntöjen perusteella:

 

[[$ \quad D N(t) =D ke^{-\lambda t}=-k\lambda e^{-\lambda t}=-\lambda N(t) $]]

 

Funktion vakiotermin k merkitys voidaan päätellä laskemalla funktion arvo ajanhetkellä 0 s:

 

[[$ \quad N(0 \text{ s})=ke^{-\lambda \cdot 0 \text{ s}}=k \cdot 1 =k $]]

 

Vakiotermi ilmaisee ydinten lukumäärän tarkastelun alkuhetkellä, mitä merkitään [[$ N_0 $]]​. Näin on perusteltu radioaktiivisten ydinten lukumäärää ajanhetkellä t ilmaiseva hajoamislaki:

 

[[$ \quad N(t) =N_0 e^{-\lambda t} $]]

Myös näytteen aktiivisuus vähenee eksponentiaalisesti ajan suhteen. Tämä on selvää, sillä jokaisella ajanhetkellä aktiivisuus on hajoamisvakion ja ydinten lukumäärän tulo. Siis

 

[[$ \quad A(t) =A_0 e^{-\lambda t} $]]