1.5 Lauseke ja sen sieventäminen
Lausekkeen sieventäminen
Lauseke
Laskutoimitusta, jossa esiintyy lukuja, matemaattisia operaattoreita, tuntemattomia vakioita tai muuttujia, kutsutaan lausekkeeksi. Jos lausekkeessa esiintyy lukuarvoltaan tuntemattomia vakioita tai muuttujia, lausekkeen numeerista arvoa ei voida kirjoittaa yhtenä lukuna, mutta yhdistelemällä termejä ja soveltamalla laskulakeja lauseketta voidaan sieventää yksinkertaisempaan muotoon. Sieventämisessä lausekkeen arvo ei muutu.Kertolasku sievennetään jättämällä tekijöiden väliltä kertolaskua ilmoittava piste kirjoittamatta. [[$3\cdot x$]] sievenee muotoon [[$3x$]].
Sieventämistä voidaan verrata lauseeseen:
"Kolme kertaa omena on yhteensä kolme omenaa."
Termi
Termi on lausekkeen jäsen, jossa on kerroinosa (luku) ja muuttujaosa (kirjaimia). Esimerkiksi [[$3x$]], [[$-x$]], [[$\frac{3}{7}x$]], [[$5$]] ja [[$16a$]] ovat termejä. Termit ovat samanmuotoisia, jos niiden muuttujaosat ovat samat. - Termin [[$-13x$]] kerroinosa on [[$-13$]] ja muuttujaosa on [[$x$]].
- Termin [[$21xz$]] kerroinosa on [[$21$]] ja muuttujaosa on [[$xz$]].
Samanmuotoisten termien yhdistäminen
Lausekkeen sieventämisessä yhdistetään samanmuotoiset termit laskemalla samanmuotoisten termien kertoimet yhteen. Sievennetystä muodosta nähdään, kuinka monta mitäkin muuttujaosaa on.Samanmuotoisten termien yhdistämistä voidaan verrata lauseeseen:
"Omena plus omena plus kolme omenaa on yhteensä viisi omenaa."
Samanmuotoisten termien yhdistäminen on seurausta tulon osittelulaista:
[[$$ax+bx=(a+b)x$$]]
Termien yhdistäminen vastaa tekijöihin jakamista. Yhteisenä tekijänä on samanmuotoisten termien yhteinen muuttujaosa. Kerroinosaksi tulee samannimisten termien kertoimien summa.
- Lauseke [[$x+x+3x$]] sievenee muotoon [[$5x$]], koska [[$(1+1+3)x=5x$]].
- Lauseke [[$3a+5x-a-4x$]] sievenee muotoon [[$2a+x$]], koska [[$(3+(-1))a = 2a $]] ja [[$(5+(-4))x = x$]].
Esimerkki 1
Laske lausekkeen [[$3\cdot 2 + 4\cdot 5$]] arvo.
Ratkaisutapa 1: Muutetaan kertolaskut yhteenlaskuiksi:
[[$$ \begin{align} 3\cdot 2 + 4\cdot 5&=\\2+2+2+5+5+5+5&=\\6+20&=26 \end{align}$$]]
Ratkaisutapa 2: Suoritetaan kertolaskut ennen yhteenlaskuja:
[[$$ 3\cdot 2 + 4\cdot 5=6+20=26 $$]]
Ratkaisutapa 1: Muutetaan kertolaskut yhteenlaskuiksi:
[[$$ \begin{align} 3\cdot 2 + 4\cdot 5&=\\2+2+2+5+5+5+5&=\\6+20&=26 \end{align}$$]]
Ratkaisutapa 2: Suoritetaan kertolaskut ennen yhteenlaskuja:
[[$$ 3\cdot 2 + 4\cdot 5=6+20=26 $$]]
Esimerkki 2
Sievennä lauseke [[$5x-3x+2x+4x-2x-x$]].
Ratkaisutapa 1: Ryhmitellään termejä.
[[$$ \begin{align} 5x-3x+2x+4x-2x-x&=\\5x+(-3x)+2x+4x+(-2x)+(-x)&= \\5x+4x\underbrace{+2x+(-2x)}_{=0}+(-3x)+(-x) &=\\5x\underbrace{+4x+(-4x)}_{=0}&=5x\end{align} $$]]
Ratkaisutapa 2: Yhdistetään samanmuotoiset termit (yhteinen tekijä [[$x$]]).
[[$$ \begin{align} 5x-3x+2x+4x-2x-x&=\\(5-3+2+4-2-1)x&= 5x\end{align} $$]]
Ratkaisutapa 1: Ryhmitellään termejä.
[[$$ \begin{align} 5x-3x+2x+4x-2x-x&=\\5x+(-3x)+2x+4x+(-2x)+(-x)&= \\5x+4x\underbrace{+2x+(-2x)}_{=0}+(-3x)+(-x) &=\\5x\underbrace{+4x+(-4x)}_{=0}&=5x\end{align} $$]]
Ratkaisutapa 2: Yhdistetään samanmuotoiset termit (yhteinen tekijä [[$x$]]).
[[$$ \begin{align} 5x-3x+2x+4x-2x-x&=\\(5-3+2+4-2-1)x&= 5x\end{align} $$]]
