1.2 Yhteen- ja vähennyslasku

Yhteen- ja vähennyslasku


Summa ja erotus


Luonnollisilla luvuilla laskettaessa yhteenlasku eli summa tarkoittaa tietyn kappalemäärän lisäämistä ja vähennyslasku eli erotus tarkoittaa tietyn kappalemäärän poistamista. Luvun nolla lisääminen tai vähentäminen ei muuta luvun arvoa.
[[$$n+0=n-0=n$$]]
Esimerkiksi
[[$7+0=7-0=7$]]

Vastaluku

Jokaiselle reaaliluvulle [[$x$]] on olemassa vastaluku [[$-x$]] siten, että luvun ja sen vastaluvun summa on nolla.
[[$$x+(-x)=0$$]]
Esimerkiksi
Luvun [[$5$]] vastaluku on [[$-5$]], koska [[$5+(-5)=0$]] ja
luvun [[$-396$]] vastaluku on [[$396$]], koska [[$-396+396=0$]]
Luvun vastaluku muodostetaan vaihtamalla luvun etumerkki.

Vastaluku

Luvun ja sen vastaluvun summa on nolla. [[$x+(-x)=0$]]
Merkintä [[$-x$]] tarkoittaa luvun [[$x$]] vastalukua.
Lukusuoralla luku ja sen vastaluku ovat yhtä etäällä nollasta, mutta vastakkaisilla puolilla.

Luvun vastaluku muodostetaan vaihtamalla luvun etumerkki.
Lausekkeen vastalauseke muodostetaan vaihtamalla jokaisen termin etumerkit.


Reaalilukujoukossa riittää pelkkä yhteenlasku

Reaalilukujen joukossa käytössä on myös negatiiviset luvut, jolloin erillistä vähennyslaskua ei välttämättä tarvitse määritellä. Kun jostain luvusta vähennetään positiivinen luku, voidaan ajatella, että siihen lisätään negatiivinen luku.

Miinusmerkki luvun edessä tarkoittaa luvun vastalukua. Vastaluvun avulla lukujen [[$a$]] ja [[$b$]] erotus [[$a-b$]] voidaan ajatella luvun [[$a$]] ja luvun [[$b$]] vastaluvun [[$-b$]] summana: [[$a+(-b)$]].
[[$$a-b=a+(-b)$$]]
Vastaavasti myös lukujen [[$a$]] ja [[$-b$]] erotus voidaan ajatella lukujen [[$a$]] ja luvun [[$-b$]] vastaluvun summana: [[$$a-(-b)=a+ (b) = a+b$$]]
Esimerkiksi
[[$5-3=5+(-3)=2$]] "Lukuun 5 lisätään luvun 3 vastaluku."

[[$5-(-3) = 5+3=8$]] "Lukuun 5 lisätään luvun -3 vastaluku."
Yhteenlaskussa eli summassa positiiviset luvut kasvattavat lausekkeen arvoa ja negatiiviset luvut pienentävät sitä.

Yhteenlaskun vaihdannaisuus ja liitännäisyys

Yhteenlaskettavien lukujen laskujärjestys ei vaikuta summaan.
[[$$\begin{align}a+b&=b+a\\(a+b)+c&=a+(b+c)\end{align}$$]]
Seuraus: Yhteenlaskussa voidaan ryhmitellä yhteenlaskettavia mihin tahansa järjestykseen.


Yhteenlasku on vaihdannainen ja liitännäinen

Vaihdantalaki [[$a+b=b+a$]]
Liitäntälaki [[$(a+b)+c=a+(b+c)$]]

Esimerkki 1

Laske lausekkeen [[$5-3+2+4-2-1$]] arvo.

Ratkaisu:[[$$ \begin{align}& 5-3+2+4-2-1\\&=5+(-3)+2+4+(-2)+(-1) \\&=5+4+\underbrace{2+(-2)}_{=0}+(-3)+(-1) \\&=5+4+(-3)+(-1) \\&=5+\underbrace{4+(-4)}_{=0}\\&=5 \end{align} $$]]

Vastaus: Lausekkeen arvo on 5.

Ratkaisussa hyödynnettiin ryhmittelyn lisäksi vastaluvun määritelmää: luvun ja sen vastaluvun summa on nolla.

Esimerkki 2

Kahden luvun erotuksen vastaluku:
Koska [[$5-3=2$]] ja [[$3-5=-2$]], niin [[$(5-3)$]] ja [[$(3-5)$]] ovat toistensa vastalukuja.

Yleisesti onkin voimassa:

[[$$(a-b)=-(b-a)$$]]

Todistus: Luvut ovat toistensa vastalukuja, jos niiden summa on nolla. Lasketaan lukujen
[[$a-b$]] ja [[$b-a$]] summa:
[[$$(a-b)+(b-a)=\underbrace{a+(-b)}_{a-b}+\underbrace{b+(-a)}_{b-a}=a+(-a)+b+(-b)=0+0=0$$]]
Luvun [[$a-b$]] vastaluku on [[$b-a$]].