MAA8 P2 koe to 2.4. (36 p)
Ohje
- Saat käyttää laskinta koko ajan (teknisesti hakala estää), samoin suttupaperia ym
- Tehtäviin 1-3 haluan silti ratkaisun tärkeimpine välivaiheineen niin kuin laskisit ilman laskinta
- Palautuslaatikot sulkeutuvat klo 14:15
- Et saa poistua kokeen aikana koneen ääreltä
- Laita viesti Skypeen/jonnekin kun lopetat kokeentekemisen
- Sallittuja ohjelmia ovat abitistakin löytyvät + Excel, sallittuja nettisivuja tämä, Classpad.net ja ytl:n editori:https://math-demo.abitti.fi/
- Kuvakaappausten ei tarvitse olla erityisen tyylikkäitä
T1 (3 p)
Laske raja-arvo
[[$$\lim_{x\to -1}\dfrac{2x+2}{2-\sqrt{6+2x}}$$]]
T1 palautus
Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.
T2 (11 p)
Ratkaise yhtälöt
a) [[$e^{2x}-2e^x=-1$]] (4 p)
b) [[$\log_5\left(x-1\right)-\log_5\left(x+3\right)=\log_52$]] (4 p)
c) [[$\sqrt[3]{x}=2\sqrt{x}$]] (3 p)
T2 palautus
Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.
T3 (9 p)
Taylorin polynomilla voidaan approksimoida mitä tahansa funktiota. Approksimaatio on sitä parempi, mitä korkeamman asteen Taylorin polynomi rakennetaan. Approksimaatio tehdään tietyn pisteen [[$x_0$]] läheisyydessä, ja se on sitä parempi, mitä lähempänä tätä pistettä ollaan.
Taylorin polynomi on [[$T(x)=a_0+a_1\cdot\left(x-x_0\right)+a_2\cdot\left(x-x_0\right)^2+a_3\cdot\left(x-x_0\right)^3+\dots$]].
Polynomi määritetään siten, että kertoimia [[$a_0$]], [[$a_1$]], [[$a_2$]] lähdetään selvittämään yksi kerrallaan:
- Polynomin arvo pisteessä [[$x_0$]] täytyy olla sama kuin funktion arvo pisteessä [[$x_0$]]
- Taylorin polynomin derivaatan arvo pisteessä [[$x_0$]] täytyy olla sama kuin funktion derivaatan arvo pisteessä [[$x_0$]]
- Taylorin polynomin toisen derivaatan arvo pisteessä [[$x_0$]] täytyy olla sama kuin funktion toisen derivaatan arvo pisteessä [[$x_0$]]
- Jatketaan korkeammille derivaatoille niin kauan kuin halutaan, eli riippuen halutusta tarkkuudesta.
T3 palautus
Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.
T4 (8 p)
T4 palautus
Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.
T5 (5 p)
Erästä sovellusta varten on löydettävä funktion [[$f\left(x\right)=\ln\left(x^2-6x+8\right)$]] suurin ja pienin arvo.
Masa oli nerokas ja totesi, että riittää derivoida funktio [[$g\left(x\right)=x^2-6x+8$]] ja etsiä sen derivaatan nollakohdat. Alkuperäinen funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa joko näissä nollakohdissa tai välin päätepisteissä.
a) Perustele, miksi riittää Masan tavoin derivoida vain sisäfunktio ja etsiä sen nollakohdat. (3 p)
b) Riittäisikö sama myös, jos olisi tutkittavana funktio [[$h\left(x\right)=\left(x^2-6x+8\right)^2$]]? (2 p)
T5 palautus
Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.