Ensimmäisen asteen yhtälön ax+b=0 ratkaiseminen

Kaikilla ensimmäisen asteen yhtälöillä on joko yksi, ei yhtään tai ääretön määrä ratkaisuja. Ratkaisujen lukumäärä riippuu siitä, millaiseen muotoon alkuperäinen yhtälö sievenee. Yhtälöä muokataan sievennyksessä sellaiseen muotoon, että vasemmalla puolella on pelkkä muuttuja ja oikealla puolella lukuarvo.
Jos muuttuja häviää yhtälöstä, yhtälö on joko identtisesti tosi tai identtisesti epätosi, eli alkuperäisen yhtälön ratkaisu on kaikki muuttujan arvot, tai ei ratkaisua lainkaan.

yhtälön [[$ax+b=0$]] ratkaistu muoto	ratkaisujen lukumäärä
[[$0=k$]], missä [[$k\neq0$]]	identtisesti epätosi, ei ratkaisuja
[[$x=k$]]	yksi ratkaisu [[$x=k$]]
[[$0=0$]]	identtisesti tosi, ratkaisuna [[$x\in \mathbb{R}$]]

​

Esimerkki 1.
Ratkaise yhtälö
[[$-15x+7=7x-3$]]

Ratkaisu
Yhtälö sievenee muotoon [[$x=\frac{5}{11}$]], mikä on alkuperäisen yhtälön ratkaisu.

​

Vinkki: Voit ratkaista välivaiheittain yhtälöitä myös laskimella. Syötä haluamasi operaatio uudelle riville. Sanaa "ans" ei tarvitse kirjoittaa, se ilmestyy automaattisesti, kun syötät laskutoimitusmerkin	[[⸮⸮https://peda.net/id/378462b8a??]]

​

Ensimmäisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen

Esimerkki 1.
Ratkaise epäyhtälö
[[$3x-5>8x-3$]]

Ratkaisu:
(Tapa 1: Graafinen tarkastelu)

1. Muokataan epäyhtälö sellaiseen muotoon, että oikealla puolella on pelkkä nolla.
2. Ratkaistaan vasemman puolen lausekkeen nollakohdat ja riippuen siitä onko kuvaaja nouseva vai laskeva, valitaan ratkaisuksi [[$x$]]:n arvot nollakohdasta oikealle tai vasemmalle.

[[$\begin{align}3x-5&>8x-3\\3x-5-8x+3&>0\\-5x-2&>0\end{align}$]]

Määritetään nollakohdat:

(Tapa 2: Algebrallinen ratkaisu)
Muokataan epäyhtälöä tavallisen yhtälön tapaan.

Muista, että kerrottaessa epäyhtälö negatiivisella luvulla suuruusjärjestyksen suunta vaihtuu.

[[$\begin{align}3x-5&>8x-3\\3x-8x+3&>-3+5\\-5x&>2\\x&<-\frac{2}{5}\end{align}$]]