Epäyhtälön ratkaisu

Kuten yhtälöä, niin epäyhtälöäkin voidaan muokata erilaiseen muotoon.

Seuraavat toimenpiteet säilyttävät alkuperäisen epäyhtälön totuusarvon:
  1. Saman vakion, termin tai lausekkeen lisääminen (tai vähentäminen) epäyhtälön molemmille puolille.
  2. Molempien puolien kertominen (tai jakaminen) samalla positiivisella luvulla.
Huomautus:
Jos epäyhtälö kerrotaan puolittain negatiivisella luvulla, suuruusjärjestys muuttuu vastakkaiseksi.


Esimerkki 2.
Olkoon
a) [[$-5<0$]].
Lisäämällä molemmille puolille luku [[$5$]] saadaan [[$0<5$]], mikä on edelleen tosi.

b) [[$10<20$]].
Jakamalla molemmat puolet luvulla kymmenen saadaan [[$1<2$]], mikä on edelleen tosi.

c) [[$0.5<1$]].
Kertomalla molemmat puolet luvulla kaksi saadaan [[$1<2$]], mikä on edelleen tosi.

d) [[$1<2$]].
Kertomalla molemmat puolet luvulla [[$-1$]] saadaan [[$-1<-2$]], mikä on epätosi.

Suuruusjärjestyksen suunta on vaihdettava samalla, kun kerrotaan (tai jaetaan) epäyhtälö puolittain negatiivisella luvulla:

[[$\begin{align}1&<2 \qquad &\text{tosi}\\-1&>-2\qquad &\text{tosi}\end{align}$]]

Vinkki:
Kuten yhtälöitä, niin epäyhtälöitäkin voi lukea joko vasemalta oikealle tai oikealta vasemmalle ja totuusarvo säilyy, kunhan luetaan "<" tai ">" -merkkikin oikeasta suunnasta. Merkki luetaan sen mukaisesti törmätäänkö kärkeen (pienempi kuin) vai leveään osaan (suurempi kuin).
[[$-5<0$]] "Miinus viisi on pienempi kuin nolla."
[[$0>-5$]] "Nolla on suurempi kuin miinus viisi."


Lauseke ja epäyhtälö

Tarkastellaan epäyhtälöä [[$2x-5 >0 $]].

Epäyhtälö on tosi, kun lausekkeen [[$2x-5$]] arvo on positiivinen. Tutkitaan lausekkeen arvoja eri [[$x$]]:n arvoilla piirtämällä kuvaaja [[$y=2x-5$]].

Polynomifunktion etumerkki voi vaihtua vain sen nollakohdassa. Funktion [[$f(x)=2x-5$]] nollakohta saadaan ratkaistua yhtälöstä [[$2x-5=0 $]] ja se on [[$x=2\frac{1}{2}$]]. Funktion kuvaaja on nouseva suora. Nollakohdan vasemmalla puolella lausekkeen arvo on negatiivinen ja oikealla puolella positiivinen.

Kuvaajasta nähdään, että lausekkeen arvo on positiivinen, kun [[$x>2\frac{1}{2}$]], joten epäyhtälön [[$2x-5 >0 $]] ratkaisu on kun [[$x>2\frac{1}{2}.$]]

Kun epäyhtälö on muokattu sellaiseen muotoon, että vasemmalla puolella on lauseke ja oikealla puolella luku nolla, ratkaistaan epäyhtälö tutkimalla lausekkeen etumerkkiä.