Teoria

4.2

4.2 Määrätty integraalin arvioiminen

Määrätty integraali merkitään $\int_a^bf\left(x\right)dx$

- Jos $f\left(x\right)\ge0$ , niin $\int_a^bf\left(x\right)dx$ on funktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala

- Jos $f\left(x\right)<0$ , niin $A=-\int_a^bf\left(x\right)dx$

421

$f\left(0\right)=-5{,}\ f\left(2\right)=-9{,}\ f\left(4\right)=-5$

a) Kuvaaja on x.akselin alapuolella, joten suorakulmioiden korkeudet ovat funktion arvojen vastalukuja. Suorakulmioiden leveys on 2.

$A\approx2\left(-f\left(0\right)-f\left(2\right)-f\left(4\right)\right)=2\left(5+9+5\right)=38$

b) Määrätty integraali on negatiivinen, koska kuvaaja on x-akselin alapuolella.

$\int_{-1}^5x\left(dx\right)\approx-A=-38$

423

$\int_0^2f\left(x\right)dx=-A2=-2$

$\int_{-2}^3f\left(x\right)dx=A1-A2+A3=4\frac{1}{3}-2+\frac{1}{2}=2\frac{5}{6}$

$\int_{-2}^3\left|f\left(x\right)\right|dx=A1+A2+A3=6\frac{5}{6}$

4.1

4.1 Ala- ja yläsumma sekä keskipistesääntö

Esim. Arvioi funktion $f\left(x\right)=-x^2+8x-7$ kuvaajan ja x.akselin rajaaman alueen pinta-alaa ala- ja yläsummien avulla, kun osavälejä on 3, 20, 50, 500, 2000, 10000 ja 30000 kpl.

Lasketaan kuvaajan ja x.akselin leikkauskohdat.

$-x^2+8x-7=0$

$x=1\ tai\ x=7\ \left(laskin\right)$

Lasketaan ala- ja yläsummia taulukkolaskentaohjelman komennoilla.

Keskipistesääntö:
Olkoon jatkuva funktio $f\left(x\right)\ge0$ välillä [a,b]. Kun jakovälejä on n kpl, on yhden jakovälin pituus $h=\frac{b-a}{n}$

Yksittäisen suorakulmion korkeus funktion arvo jakovälin keskipisteessä.

Merkitään keskipisteiltä $x_1{,}\ x_2{,}\ x_3{,}...{,}\ x_n$

Välillä [a,b] funktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on

$A\approx hf\left(x_1\right)+hf\left(x_2\right)+...+hf\left(x_n\right)=h\left(f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+...+f\left(x_n\right)\right)$

405.

$f\left(x\right)=-x^2+8x-7$

Lasketaan kuvaajan ja x-akselin leikkauskodat.

$-x^2+8x-7=0$

$x=1\ tai\ x=7\ \left(laskin\right)$

Suorakulmioita on 3 kpl eli n=3

Yhden osavälin pituus eli suorakulmion leveys on

$h=\frac{7-1}{3}=\frac{6}{3}=2$

Osavälit ovat [1,3] [3,5] [5,7].

Osavälien keskipisteet ovat

$\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$

$\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4$

$\frac{5+7}{2}=6$

Suorakulmion korkeudet ovat fubktiob arvot välien keskpisteissä eli

$f\left(2\right){,}\ f\left(4\right)\ ja\ f\left(6\right)$
$A\approx2f\left(2\right)+2f\left(4\right)+2f\left(6\right)=38$

2.1 Haarukointi ja ratkaisujen lukumäärä

Bolzanon lause

Jos funktio f on jatkuva suljetulal välillä [a, b] ja välin päätepistearvot f(a) ja f(b) ovat erimerkkiset, niin funktiolla f on ainakin yksi nollakohta välillä ]a,b[.

221.

$f\left(x\right)=e^{2x}-2x-2$

Tutkitaan funktion f kulkua derivaatan avulla
$f'\left(x\right)=2e^{2x}-2$

Ratkaistaan derivaatan nollakohdat

$2e^{2x}-2=0{,}\ kun\ x=0\left(laskin\right)$

$f'\left(1\right)\approx$

Kulkukaavio

$\begin{array}{l|l} &&0&\\ \hline f'\left(x\right)&-&&+\\ f\left(x\right)&\searrow&&\nearrow\\ &&\min& \end{array}$

Kun x<0, funktio on vähenevä. Täälöin funktiolla voi olla korkeintaan yksi nollakohta.

Kun x>0, funktio on kasvava. Tällöin funktiolla voi olla korkeintaan yksi nollakohta.

Funktiolla voi olla korkeintaan kaksi nollakohtaa.

Funktion kuvaaja perusteella nollakohdat ovat väleillä [-1,0] ja [0,1].

$f\left(-1\right)\approx0{,}14>0$

$f\left(0\right)=-1<0$
$f\left(1\right)\approx3{,}39>0$

Funktio f on jatkuva, joten sillä on Bolzanon lauseen mukaan ainakin yksi nollakohta välillä ]-1,0[ ja välillä ]0,1[. Siten funktiolla on ainakin kaksi nollakohtaa.

Funktiolla f on korkeintaan 2 nollakohtaa ja ainakin 2 nollakohtaa, joten sillä on täsmälleen 2 nollakohtaa

Selvitetään välillä [-1,0] oleva nollakohta haarukoimalla.

Kaikki luvut väliltä ]-0,925;-0,92[ pyöristyvät kahden desimaalin tarkkuudella arvoon -0,92 eli tämä on kysytty nollakohta.

Selvitetään välillä ]0,1[ oleva nollakohta puolitusmenetelmällä.

Kysytty nollakohta on 0,57.

V: Kaksi nollakohtaa $x\approx0{,}92\ ja\ x\approx0{,}57$

1.4 Polynomi yhtälön ratkaiseminen

Kompleksiluvut ℂ

Määritelmä

* Imaginaariyksikkö i on luku, jolle i²=-1

* Kompleksiluvut ovat muotoa a+bi, a,b∈ℝ

Esim. Ratkaise yhtälö kompleksilukujen joukossa

$x^2+x+1=0$

$x=\frac{-1\pm\sqrt[]{1^2-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1}=\frac{-1\pm\sqrt[]{-3}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt[]{-1\cdot3}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt[]{-1}\cdot\sqrt[]{3}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt[]{i^2}\sqrt[]{3}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt[]{3}}{2}$
$x=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt[]{3}}{2}i$
$tai$
$x=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt[]{3}}{2}i$

Lasue

n. asteisella polynomilla $P\left(x\right)=a_xx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...a_2x^2+a_1x+a_0$ $a_n\ne0$ on täsmälleen n nollakohtaa

$x_1{,}\ x_2{,}\ ...\ {,}x_n\ \$ eli yhtälöllä $P\left(x\right)=0$ on nratkaisua, kun huomioidaan monikertaisest ja kompleksiset ratkaisut. Tällöin
$P\left(x\right)=a_n\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)...\left(x-x_n\right)$

Esim. Jaa polynomi $P\left(x\right)=2x^5-2x^4-x^3-3x^2-6x$ tekijöihin. Huomioi myös imaginaariset ratkaisut

Edell' saatiin nolla kohdat

$x=0{,}\ x=-1\ ja\ x=2$

Ratkaistaan yhtälö $2x^3+3=0$
$x^2=-\frac{3}{2}=-1\cdot\frac{3}{2}$
$x=\pm\sqrt[]{-1\cdot\frac{3}{2}}$
$=\pm\sqrt[]{-1}\sqrt[]{\frac{3}{2}}$
$=\pm\sqrt[]{i^2}\sqrt[]{\frac{3}{2}}=\pm i\sqrt[]{\frac{3}{2}}$
$P\left(x\right)=2\left(x-0\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-i\sqrt[]{\frac{3}{2}}\right)\left(x+i\sqrt[]{\frac{3}{2}}\right)$

1.2 Polymien jaollisuus

Lause

Kun polynomi P(x) jaetaan polynomilla Q(x), joka ei ole nollapolynomi, on olemassa yksikäsitteiset osamäärän polumomiosa S(x) ja jakojäännös R(x), joilla $P\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot S\left(x\right)+R\left(x\right)$

Määritelmä
Polynomi P(x) on jaolinen polyomilla Q(x), jos P(x)=Q(x)*S(x) jollain polynomilla S(x). Tällöin sanotaan myös, että Q(x) on polynomin P(x) tekijä.

1.1 Algoritmi

Algoritmi on yksityiskohtainen kuvaus tai ohje, jolla annettu tehtävä voidaan suorittaa

103.

$\begin{array}{l|l} &\ \ 46\\ \hline 7&322\\ -&28\\ &---\\ &\ \ 42\\ -&\ \ 42\\ &---\\ &\ \ \ \ 0 \end{array}$

Jakoalgoritmissa toistetaan vaiheita

- Jaa

- Kerro

- Vähennä

- Pudota

$\begin{array}{l|l} &1433\\ \hline 4&5734\\ -&4\\ &---\\ &17\\ -&16\\ &---\\ &13\\ -&12\\ &---\\ &14\\ -&12\\ &---\\ &\ \ 2 \end{array}$

$\begin{array}{l|l} &\ \ 106\\ \hline 59&6254\\ -&59\\ &---\\ &\ \ 354\\ -&\ \ 354\\ &---\\ &\ \ \ \ \ \ 0 \end{array}$

104.

1) Olkoon p=41. Nyt $134-p=134-41=93$

2) 93>p, joten $93-p=93-41=52$

3) $52-p=52-41=11$ , 11<p

4) Viimeisen vähennyslaskun tulos on 11

b) Algoritmilla saadaan selville jakojäännös, kun isompi luvuista jaetaan pienemmällä.

c) Algoritmi on ihmisen toteuttamana todella työläs, jos toinen luku on paljon suurempi kuin toinen.

Algoritmin ei myöskään kerro, mitä pitää tehdä, jos annetut luvut ovat yhtä suuret tai pienempi luku on nolla.