1.4 Polynomi yhtälön ratkaiseminen

Kompleksiluvut ℂ

Määritelmä

* Imaginaariyksikkö i on luku, jolle i²=-1

* Kompleksiluvut ovat muotoa a+bi, a,b∈ℝ

Esim. Ratkaise yhtälö kompleksilukujen joukossa

$x^2+x+1=0$

$x=\frac{-1\pm\sqrt[]{1^2-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1}=\frac{-1\pm\sqrt[]{-3}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt[]{-1\cdot3}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt[]{-1}\cdot\sqrt[]{3}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt[]{i^2}\sqrt[]{3}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt[]{3}}{2}$
$x=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt[]{3}}{2}i$
$tai$
$x=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt[]{3}}{2}i$

Lasue

n. asteisella polynomilla $P\left(x\right)=a_xx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...a_2x^2+a_1x+a_0$ $a_n\ne0$ on täsmälleen n nollakohtaa

$x_1{,}\ x_2{,}\ ...\ {,}x_n\ \$ eli yhtälöllä $P\left(x\right)=0$ on nratkaisua, kun huomioidaan monikertaisest ja kompleksiset ratkaisut. Tällöin
$P\left(x\right)=a_n\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)...\left(x-x_n\right)$

Esim. Jaa polynomi $P\left(x\right)=2x^5-2x^4-x^3-3x^2-6x$ tekijöihin. Huomioi myös imaginaariset ratkaisut

Edell' saatiin nolla kohdat

$x=0{,}\ x=-1\ ja\ x=2$

Ratkaistaan yhtälö $2x^3+3=0$
$x^2=-\frac{3}{2}=-1\cdot\frac{3}{2}$
$x=\pm\sqrt[]{-1\cdot\frac{3}{2}}$
$=\pm\sqrt[]{-1}\sqrt[]{\frac{3}{2}}$
$=\pm\sqrt[]{i^2}\sqrt[]{\frac{3}{2}}=\pm i\sqrt[]{\frac{3}{2}}$
$P\left(x\right)=2\left(x-0\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-i\sqrt[]{\frac{3}{2}}\right)\left(x+i\sqrt[]{\frac{3}{2}}\right)$