4.1

4.1 Ala- ja yläsumma sekä keskipistesääntö

Esim. Arvioi funktion $f\left(x\right)=-x^2+8x-7$ kuvaajan ja x.akselin rajaaman alueen pinta-alaa ala- ja yläsummien avulla, kun osavälejä on 3, 20, 50, 500, 2000, 10000 ja 30000 kpl.

Lasketaan kuvaajan ja x.akselin leikkauskohdat.

$-x^2+8x-7=0$

$x=1\ tai\ x=7\ \left(laskin\right)$

Lasketaan ala- ja yläsummia taulukkolaskentaohjelman komennoilla.

Keskipistesääntö:
Olkoon jatkuva funktio $f\left(x\right)\ge0$ välillä [a,b]. Kun jakovälejä on n kpl, on yhden jakovälin pituus $h=\frac{b-a}{n}$

Yksittäisen suorakulmion korkeus funktion arvo jakovälin keskipisteessä.

Merkitään keskipisteiltä $x_1{,}\ x_2{,}\ x_3{,}...{,}\ x_n$

Välillä [a,b] funktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on

$A\approx hf\left(x_1\right)+hf\left(x_2\right)+...+hf\left(x_n\right)=h\left(f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+...+f\left(x_n\right)\right)$

405.

$f\left(x\right)=-x^2+8x-7$

Lasketaan kuvaajan ja x-akselin leikkauskodat.

$-x^2+8x-7=0$

$x=1\ tai\ x=7\ \left(laskin\right)$

Suorakulmioita on 3 kpl eli n=3

Yhden osavälin pituus eli suorakulmion leveys on

$h=\frac{7-1}{3}=\frac{6}{3}=2$

Osavälit ovat [1,3] [3,5] [5,7].

Osavälien keskipisteet ovat

$\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$

$\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4$

$\frac{5+7}{2}=6$

Suorakulmion korkeudet ovat fubktiob arvot välien keskpisteissä eli

$f\left(2\right){,}\ f\left(4\right)\ ja\ f\left(6\right)$
$A\approx2f\left(2\right)+2f\left(4\right)+2f\left(6\right)=38$