Funktioita voidaan kuvata myös kuvaajan avulla. Funktion lausekkeen avulla voidaan laskea yksittäistä muuttujan (x) arvoa vastaava funktion arvo (y).

Kuvaajan tulkinta on epätarkka laskentamenetelmä, mutta kuvaajien käyttäminen helpottaa usein tehtävän ratkaisua.

Kuvaajan avulla voidaan arvioida funktion arvoja, kun tiedetään muuttujien arvot. Sama pätee toiseen suuntaan eli funktion arvojen ja kuvaajan avulla voidaan arvioida muuttujien arvoja.

Esimerkki 1. Kuvaajan tulkinta.

a) Mikä on funktion arvo kohdassa 0?

b) Mikä on funktion arvo muuttujan arvolla x = 1,5?

c) Millä muuttujan arvolla funktio saa arvon nolla?

d) Millä muuttujan arvolla funktio saa arvon -3?

e) Millä muuttujien arvoilla funktio saa vain positiivisia arvoja?


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Funktion positiivisuus ja negatiivisuus tarkastellaan y-akseliin nähden. Vastaukset ilmoitetaan muuttujan eli x-akselin arvoilla. Ensimmäinen tehtävä on kuitenkin selvittää funktiot nollakohdat, koska niiden avulla saadaan ns. rajapisteet x-akselille.

Funktio on positiivinen, kun se kulkee x-akselin yläpuolella eli funktion arvot ovat suurempia kuin nolla.

Funktio on negatiivinen, kun se kulkee x-akselin alapuolella eli funktion arvot ovat pienempiä kuin nolla.


Esimerkki 2. Tutkitaan funktion f(x) = x³ - 4x kuvaajaa.

→ aloitetaan nollakohtien selvittämisellä. Kuvaajasta on helppo huomata, että nollakohdat saadaan muuttujan arvoilla x= -2, x = 0 ja x = 2. Näiden avulla ilmoitetaan seuraavat vastaukset.

→ funktio on x-akselin yläpuolella eli positiivinen silloin, x on lukujen -2 ja nolla välillä. Samoin funktio on positiivinen, kun muuttujan arvot ovat suurempia kuin 2.
→ f(x) > 0, kun -2 < x < 0 tai x > 2

→ funktio on x-akselin alapuolella eli negatiivinen silloin, x on lukujen 0 ja 2 välillä. Samoin funktio on negatiivinen, kun muuttujan arvot ovat pienempiä kuin -2.
→ f(x) < 0, kun x < -2 tai 0 < x < 2


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Funkio voidaan piirtää ja mallintaa joko laskemalla apupisteet ja merkitsemällä ne koordinaatistoon tai käyttämällä sopivaa sähköistä apuvälinettä, kuten graafiset laskimet, tablettisovellukset tai valmiit selainsovellukset. Kurssin aikana harjoitellaan molempia tekniikoita.

Funktion jokaista muuttujaa vastaa jokin tietty (yksi) funktion arvo. Muuttujat merkitään x-akselin pisteiksi ja vastaavat funktion arvot y-akselin pisteiksi. Siten jokaisesta funktiosta voidaan laskea pistepareja (x,y), jotka voidaan sijoittaa koordinaatistoon. Laskemalla riittävän monta pistettä, saadaan aikaan funktion kuvaaja.

Esimerkki 3.

Piirretään funktion f(x) = 2x - 3 kuvaaja

Funktio voidaan kirjoittaa muodossa y = 2x - 3
Taulukoidaan funktiolle muuttujat (x) ja niitä vastaavat arvot (y)

muuttujan arvo x	funktion arvo y	koordinaatiston pistepari
x = 0	y = 2 · 0 - 3 = -3	(0,-3)
x = 1	y = 2 · 1 - 3 = -1	(1,-1)
x = 2	y = 2 · 2 - 3 = 1	(2,1)

Sijoittamalla pisteet koordinaatistoon huomataan, että kuvaaja on suora. Tämän olisi voinut huomata heti funktion lausekkeesta, joka on ensimmäistä astetta (eli suoran yhtälö).



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------