1. Luvut ja laskutoimitukset
1.1 Kokonaisluvut
Luonnollisilla luvuilla tarkoitetaan lukujen 0, 1, 2, 3,... muodostamaa lukujoukkoa.
Lukujoukon tunnus on N = { 0, 1, 2, 3,...}
Kokonaisluvuilla tarkoitetaan kaikkien positiivisten ja negatiivisten lukujen muodostamaa joukkoa.
Lukujoukon tunnus on Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Lukujoukon tunnus on N = { 0, 1, 2, 3,...}
Kokonaisluvuilla tarkoitetaan kaikkien positiivisten ja negatiivisten lukujen muodostamaa joukkoa.
Lukujoukon tunnus on Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Kokonaislukujen laskulait
1) vaihdantalaki
a) summalle m + n = n + m
b) tulolle m · n = n · m
2) liitäntälaki
a) summalle (m + n) + p = m + (n + p)
b) tulolle (m · n) · p = m · (n · p)
3) osittelulaki
p · (m + n) = p · m + p · n
a) summalle m + n = n + m
b) tulolle m · n = n · m
2) liitäntälaki
a) summalle (m + n) + p = m + (n + p)
b) tulolle (m · n) · p = m · (n · p)
3) osittelulaki
p · (m + n) = p · m + p · n
Vastaluku ja itseisarvo
Jokaisella luonnollisella luvulla on numeroltaan yhtäsuuri, mutta negatiinen kokonaisluku. Luvun ja sen vastaluvun summa on aina nolla. Tämä perustuu siihen, että luvut ovat yhtä kaukana luvusta nolla.
7 + (-7) = 0
Itseisarvolla tarkoitetaan luvun etäisyyttä luvusta nolla. Esimerkiksi luvun 10 itseisarvo on 10, kun taas luvun -14 itseisarvo on 14. Itsearvo on aina positiivinen luku, koska se kuvaa etäisyyttä.
|10| = 10
|-14| = 14
7 + (-7) = 0
Itseisarvolla tarkoitetaan luvun etäisyyttä luvusta nolla. Esimerkiksi luvun 10 itseisarvo on 10, kun taas luvun -14 itseisarvo on 14. Itsearvo on aina positiivinen luku, koska se kuvaa etäisyyttä.
|10| = 10
|-14| = 14
1.2 Reaaliluvut
Murtolukuja ovat kaikki ne luvut, jotka voidaan esittää murtolukuna muodossa 
, missä
m ja n ovat kokonaislukuja ja n ei saa olla nolla. (PERUSTELE)
Murtolukujen joukkoa merkitään tunnuksella Q.
Reaaliluvut R muodostuvat rationaaliluvuista ja irrationaaliluvuista. Esimerkiksi luku pii on irrationaaliluku.
Lukujoukosta voidaan muodostaa kuva, jossa näkyvät lukujoukkojen keskinäiset suhteet.
, missäm ja n ovat kokonaislukuja ja n ei saa olla nolla. (PERUSTELE)
Murtolukujen joukkoa merkitään tunnuksella Q.
Reaaliluvut R muodostuvat rationaaliluvuista ja irrationaaliluvuista. Esimerkiksi luku pii on irrationaaliluku.
Lukujoukosta voidaan muodostaa kuva, jossa näkyvät lukujoukkojen keskinäiset suhteet.
Murtolukujen laskusäännöt
Seuraavista opetusvideoista palautat mieleen murtoluvuilla laskemisen:
Yleistä murtoluvuista (mm.muunnokset, supistaminen ja laventaminen)
1. Murtoluvut lavennetaan samannimisiksi.
2. Lasketaan osoittajien summa tai erotus.
3. Nimittäjäksi merkitään yhteinen nimittäjä.
Kertolasku (alkaa kohdasta 4.35)
1. Sekaluvut muunnetaan murtoluvuiksi.
2. Osoittajat kerrotaan keskenään ja nimittäjät keskenään.
3. Supista, jos mahdollista ennen kertomista.
Jakolasku (alkaa kohdasta 5.00)
1. Sekaluvut muunnetaan murtoluvuiksi.
2. Jaettava kerrotaan jakajan käänteisluvulla.
Yleistä murtoluvuista (mm.muunnokset, supistaminen ja laventaminen)
-
laventamisessa sekä osoittaja että nimittäjä kerrotaan samalla luvulla
- supistamisessa osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla
1. Murtoluvut lavennetaan samannimisiksi.
2. Lasketaan osoittajien summa tai erotus.
3. Nimittäjäksi merkitään yhteinen nimittäjä.
Kertolasku (alkaa kohdasta 4.35)
1. Sekaluvut muunnetaan murtoluvuiksi.
2. Osoittajat kerrotaan keskenään ja nimittäjät keskenään.
3. Supista, jos mahdollista ennen kertomista.
Jakolasku (alkaa kohdasta 5.00)
1. Sekaluvut muunnetaan murtoluvuiksi.
2. Jaettava kerrotaan jakajan käänteisluvulla.
1.3 Yhtälö
Yhtälössä kaksi lauseketta on merkitty yhtä suuriksi
esim. 2x + 5 = 7
Ensimmäisen asteen yhtälössä muuttujan korkein eksponentti on yksi (x = x1).
Yhtälöä ratkaistaessa on tavoitteena löytää kaikki ne luvut, jotka toteuttavat yhtälön.
Niitä sanotaan yhtälön ratkaisuiksi tai juuriksi.
Ensimmäisen asteen yhtälön ratkaiseminen:
1. Poistetaan tarvittaessa nimittäjät.
2. Siirretään muuttujatermit yhtälön vasemmalle puolelle ja vakiotermit yhtälön
oikealle puolelle. Termin etumerkki vaihtuu, kun se siirretään yhtälön toiselle puolelle.
3. Yhdistetään samanmuotoiset termit.
4. Jaetaan yhtälön molemmat puolet muuttujan kertoimella.
Esimerkki 1.
Esimerkki 2.
esim. 2x + 5 = 7
Ensimmäisen asteen yhtälössä muuttujan korkein eksponentti on yksi (x = x1).
Yhtälöä ratkaistaessa on tavoitteena löytää kaikki ne luvut, jotka toteuttavat yhtälön.
Niitä sanotaan yhtälön ratkaisuiksi tai juuriksi.
Ensimmäisen asteen yhtälön ratkaiseminen:
1. Poistetaan tarvittaessa nimittäjät.
2. Siirretään muuttujatermit yhtälön vasemmalle puolelle ja vakiotermit yhtälön
oikealle puolelle. Termin etumerkki vaihtuu, kun se siirretään yhtälön toiselle puolelle.
3. Yhdistetään samanmuotoiset termit.
4. Jaetaan yhtälön molemmat puolet muuttujan kertoimella.
Esimerkki 1.
Esimerkki 2.
Epäyhtälö
Ensimmäisen asteen epäyhtälö ratkaistaan pääosin samalla tavalla kuin
ensimmäisen asteen yhtälö. Menetelmissä on kuitenkin yksi ero:
Kun epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan tai jaetaan negatiivisella luvulla,
erisuuruusmerkin suunta muuttuu.
Esimerkki
ensimmäisen asteen yhtälö. Menetelmissä on kuitenkin yksi ero:
Kun epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan tai jaetaan negatiivisella luvulla,
erisuuruusmerkin suunta muuttuu.
Esimerkki