8 Syventävä

1. Lämpölaajeneminen

Lämpölaajenemisen kaava
Δl = α · l · ΔT

Joskus tarvitaan myös kaavan ratkaisua.
Ⓔ Sovite, jossa mäntä liikkuu sylinterissä vaatii sopivat välykset.
Jos sylinterin sisähalkaisija on

4. Liikelaskuja

Perusteet

Muistathan: 1 m/s = 3,6 km/h

Nopeuden kaava ja sen ratkaisut:

Näistä pitäisi osata päätellä, että
  • Nopeuden kaava vastaa nopeuden yksikköä
  • Matkan pituus on
    • sitä suurempi, mitä enemmän nopeutta
    • sitä suurempi, mitä enemmän aikaa
  • Matkaan kulunut aika on
    • sitä suurempi, mitä pitempi matka
    • sitä pienempi, mitä suurempi nopeus

Kiihtyvyyden kaava eri muodoissaan

Kiihtyvyys on aina nopeuden muutos jaettuna siihen kuluneella ajalla
  • Vasemmalla on kaava lukion oppimateriaalista
  • Keskimmäinen kaava on hyvä valinta, kun kiihtyvyyttä tulkitaan tietystä kohtaa liikkeen matka - nopeus kuvaajaa
  • Erikoistapaus oikealla toimii, jos liike alkaa levosta ja kiihtyvyys on tasainen kunnes nopeus ja aika määritetään

Lukion kaavakokoelmasta löytyy kaava, jolla lasket kiihtyvän liikkeen paikan x

Liikkeen paikka x (liikkuvan esineen paikka) riippuu ajasta t
Muuttujaksi on valittu matkan s sijaan paikka x, jotta liike voidaan tarvittaessa sitoa koordinaatistoon.
Huomaat, että kaavassa on kolme termiä
  • Ensimmäinen termi on kiihtyvän liikkeen lähtöpaikka
  • Toinen termi sisältää lähtönopeuden vaikutuksen paikkaan
  • Kolmas termi laskee kiihtyvyyden vaikutuksen paikkaan ajan kuluessa

Dynamiikan peruslaki

Newtonin toinen laki lausuu, että mikäli kappaleeseen vaikuttaa nollasta eroava kokonaisvoima, kappale on kiihtyvässä liikkeessä.
  • Kiihtyvyys on sitä suurempi, mitä suurempi on kappaleeseen vaikuttava voima
  • Kiihtyvyys on sitä pienempi, mitä suurempi on kappaleen massa

Tämä riippuvuus sisältyy dynamiikan peruslakina tunnettuun laskukaavaan: F = ma
Selvemmin edellinen pohdinta näkyy, kun kirjoitetaan kaava muodossa: a = F/m

Tämä lause on mekaniikan ydintä ja se on mukana aina, kun asioita liikkuu ja vuorovaikutukset eivät kumoa täysin toisiaan.
Dynamiikan peruslakia tarvitaan edellä nähdyn kiihtyvän liikkeen paikan johtamisessa. Siihen tarvitaan myös differentiaaliyhtälöitä, joiden esitietona on pari lukiokurssia. Kysykää, jos haluatte tietää lisää.

Putoamisliikkeelle voidaan vastaavasti kirjoittaa: G = ma,
mistä voidaan johtaa: a = G/m eli g = G/m,
kun putoamiskiihtyvyyttä merkitään a:n sijaan g:llä
Tästä saadaankin tunnistettua jo painon kaavana käytetty G = mg

Matkan ratkaiseminen kuvaajan avulla - graafinen integrointi

Otetaanpa esimerkki. Liikkeen nopeus on 10 m/s ja sitä jatkuu 20 s ajan.
Osaamme laskea matkan laskemalla s = vt = 10 m/s · 20 s = 200 m
Piirretäänpä kyseinen liike vielä aika-nopeus -kuvaajaan:

Kuva: Tasaisen liikkeen kuvaajan alle jäävä alue.

Havaitset, että tasaisen liikkeen nopeus on vakio eli viiva on suora.
Nyt kuvaan on kuitenkin lisätty väritetty alue nopeuden kuvaajan alle.
Asteikot huomioiden väritetyn alueen pinta-ala on 20  · 10 = 200.
Tulos on sama kuin matkan, kun akseleiden yksiköt otetaan mukaan.
Tämä menetelmä on graafinen integrointi.

Otetaan hieman vaativampi esimerkki.
  • Liike alkaa levosta kiihtyen.
  • 10 s kohdalla saavutetaan 12 m/s nopeus, jota ylläpidetään seuraavat 10 s.
  • Lopuksi jarrutetaan 4 s aikana pysähdyksiin.
  • Jos tietäisimme keskinopeuden, voisimme laskea matkan, koska tiedämme sen keston, 24 s.
  • Voimme päätellä, että keskinopeus aikavälillä 0...10 s ja aikavälillä 20...24 s on puolet maksiminopeudesta.
  • Näin ollen matka voidaan laskea osissa: 6 m/s · 10 s + 12 m/s · 10 s + 6 m/s · 4 s = 204 m


Kuva: Muuttuvan liikkeen kuvaajan alle jäävä alue.

Kokeillaan samaa graafisen integroinnin keinoin. Lasketaan pinta-alat, kolmiot ja suorakulmio.
  • 10 · 12 : 2 = 60
  • 10 · 12 = 120
  • 4 ·  6 = 24
  • 60 + 120 + 24 = 204

Työmäärä on vastaava. Katsotaanpa vielä yksi tilanne. Kiihdytetään mopolla täyteen nopeuteen.
Kuvaajasta nähdään, että kiihtyvyys heikkenee nopeuden kasvaessa samalla,
kun liikettä vastustavat voimat alkavat saavuttaa liikettä aikaansaavia voimia.
Voimme kysyä, kuinka pitkän matkan kiihdytys vaatii, mutta emme osaa laskea sitä.

Kuva: Epäsäännöllisesti muuttuvan liikkeen kuvaajan alle jäävä alue.

Jos kiihdytyskokeessa ei ole mitattu matkaa, on melkein pakko tutkia kuvaajan alle jäävää pinta-alaa.
Nyt siis lasketaan ruudut. Jokainen kokonainen ruutu on 2 s · 2 m/s = 4 m
Vajaat ruudut voi laskea puolikkaina:

Kuva: Graafinen integrointi ruutuja laskemalla.

Vastaus:
Pinta-alaksi saadaan lopulta ruutuina 57 + 19 : 2 = 66,5
Kiihdytykseen vaadittava matka on lopulta noin 66,5 ·  4 m = 266 m ≈ 260 m
Tulosta voi tarkentaa, jos kuvaajan esittää tiheämmällä ruudukolla

Eri suuntaisten nopeuksien yhdistäminen

Joskus tämä on helppoa. Jos olet junassa, joka kulkee 200 km/h ja kävelet kohti junan nokkaa 5 km/h, on maanopeutesi peräti 205 km/h.
Jos nopeudet ovat eri suuntaisia, tarvitaan avuksi geometriaa.
Otetaan esimerkiksi joki, jonka yli soudetaan veneellä:

Kuva: Vene ylittää jokea kohtisuoraan soutaen mutta virta vie samalla venettä omaan kulkusuuntaansa. Nopeusvektorit pitää yhdistää.

Jos kuvan joki on 120 metriä leveä, voidaan kysyä,
a) kuinka kauas ystävän pitää kävellä ottaakseen vene vastaan
b) mikä on veneen "todellinen nopeus" tai nopeus suhteessa maalle kiinnitettyyn koordinaatistoon

Kuva: Ratkaisun avaimet

a) yhdenmuotoisuuden nojalla vx : vy = x : y
Missä veneen ja joen nopeuksien suhde on yhtä kuin joen poikki- ja pituussuuntaisten matkojen suhde
Sijoitetaan tunnetut: 2,5 : 2,0 = x : 120
Ratkaistaan x = 150 m

b) nopeus v ratkaistaan pyhthagoraan lauseen avulla a2 + b2 = c2
Nyt vx2 + vy2 = v2 eli 2,52 + 2,02 = v2
Joten nopeudeksi saadaan ratkaistua v = 3,20156... m/s ≈ 3,2 m/s

Vastaus: Vene kulkee noin 3,2 m/s maanopeutta ja sen vastaanottaja joutuu kävelemään n. 150 m myötävirtaan vetääkseen veneen rannalle.

Alkuun

5. Värähtelijä

  • Värähtelijä tekee edestakaisena toistuvaa liikettä
    Ⓔ pomppiva pallo, kitaran kieli, heiluri, jousi ja punnus *
  • Värähtelijällä on lepotila, johon se lopulta asettuu, mikäli värähtely vaimenee

Harmoninen värähtelijä

  • Värähtelijän lepotila sijaitsee värähdysliikkeen keskikohdassa *
  • Värähdysliikkeen laajuus on suhteessa voimaan, jolla värähtelijä viritetään
  • Suurin poikkeama keskikohdasta on nimeltään amplitudi
  • Värähtelijän nopeus on aina suurimmillaan liikkeen keskikohdassa
  • Liikkeen ääripäässä värähtelijän nopeus on hetkellisesti nolla mutta kiihtyvyys kohti keskikohtaa on suurin
  • Lähestyessään keskikohtaa värähtelijä kiihdyttää ja etääntyessään hidastaa nopeutta


Kuva: Viritetään harmoninen värähtelijä poikkeuttamalla sitä tasapainoasemastaan. Kun värähtelijän sijainti kuvataan tasaisin aikavälein aika-poikkeama koordinaatistoon, punnuksen massakeskipiste piirtää siniaallon muotoista jaksoittain toistuvaa käyrää.

Harmoninen voima

  • Voima on harmoninen, kun voima ja sen aiheuttama poikkeama lepotilasta eli tasapainoasemasta ovat suoraan verrannolliset.
  • Toisin sanoen jokainen tietyn suuruinen lisäys voimaan kasvattaa poikkeamaa yhtä paljon.
  • Harmoninen liike eli harmoninen värähtely toteutuu, kun värähtelijä noudattaa harmonista voimaa
  • Kaava: F = −kx, missä
    F on voima, jolla jousi vetää punnusta
    k on jousivakio (sitä suurempi, mitä jäykempi jousi)
    x on se määrä, paljonko jousta on venytetty
  • Miinusmerkki johtuu siitä, että jousivoima ja jousen venymä ovat vastakkaissuuntaiset toisiinsa nähden
  • Huom: Kun punnuksen paino G venyttää jousta, jousi jännittyy ja vetää punnusta voimalla F
    Kun huomioidaan suunnat, F = −G


Kuva: Jousivakion määritys viivottimen ja kuvaajan avulla. Esimerkissä jousivakio k = G/x = 7N / 0,14 m = 50 N/m.

Jousivärähtelijän taajuus empiirisesti

Taajuuden määrittäminen empiirisesti eli kokeellisesti onnistuu mittaamalla värähdyksiin kuluvaa aikaa. Yleensä kannattaa laskea ainakin kymmenen kokonaista värähdystä ja mitata niihin kuluva aika.

taajuus f = värähdysten lukumäärä / värähdyksiin kulunut aika

jaksonaika T = värähdyksiin kulunut aika / värähdysten lukumäärä

Jousivärähtelijän taajuus jousivakion avulla

Jos värähtelijä on harmoninen ja sen jousivakio on tiedossa jaksonajalle ja taajuudelle on johdettu tarkat laskukaavat:

Ⓔ Olkoon jousen jousivakio k = 50 N/m ja punnuksen massa 250 g. Laske harmonisen värähtelijän taajuus f ja jaksonaika T.


Huom: Lukiolaisena pystyt myös laskemaan värähtelijälle ajasta riippuvan sijainnin sinifunktion avulla.

Heilurin matemaattinen ratkaisu

Heiluri muodostuu kiinteään pisteeseen sidotusta langasta ja sen toisessa päässä vapaana liikkuvasta massasta. Heilurin liike muistuttaa harmonista liikettä. Voimat pyrkivät jatkuvasti kiihdyttämään punnusta kohti tasapainoasemaansa, jonka ympärillä punnus oskilloi.

Jaksonajan laskukaava:

Ⓔ Olkoon heilurin lankan pituus 28 cm ja Maan putoamiskiihtyvyys 9,81 m/s². Laske heilurin jaksonaika ja taajuus.

Työt

  1. Valitse jousi ja määritä sen jousivakio punnuksia lisäämällä
  2. Valitse jousellesi sopiva punnus ja laske värähtelijän jaksonaika ja taajuus
  3. Tutki kellon kanssa, saatko samat tulokset empiirisesti (jaksonaika ja taajuus).
  4. Jos ehdit, tee sama vertailu heilurille

Alkuun

6. Kitkakerroin kolmella tapaa

Kitkakerroin

  • On taulukoitava kokeellinen lukuarvo, joka mittaa kahden tietyistä materiaaleista valmistetun pinnan välistä kitkaa eli pitovoimaa sivusuuntaista liikettä vastaan.
  • Suuri kitkakerroin merkitsee hyvää pitoa ja pieni sellainen huonoa.
  • Kitka on voima, joka on kosketusvuorovaikutuksesta kappaleelle aiheutuva voima
  • Lepokitka pyrkii estämään kappaleen liikkeellelähdön
  • Liukukitka pyrkii jartuttamaan kappaleen lepoon
  • Usein suurin mahdollinen lepokitka on hieman suurempi kuin liukukitka.

Kitkakertoimen määrittäminen vetokokein

  • Vedetään kitkakappaletta kitkapinnan suuntaisesti jousivaa'alla
    • Kunnes se liikahtaa - suurin lepokitka F(lepo)
    • Tasaista nopeutta - liukukitka F(liuku)
  • Punnitaan kappale ja määritetään sen paino kaavalla G=mg
  • Kitkakerroin lepokitkalle μ = F(lepo) / G 
  • Kitkakerroin liukukitkalle μ = F(liuku) / G 

Kitkakertoimen määrittäminen kaltevan tason avulla

Näin voidaan määrittää helposti vain lepokitkakerroin.
Nyt kappaletta ei vedetä, joten liikkuttava voima on kappaleen oma paino
Kun taso on vaaka-suorassa, paino on kohtisuorassa, joten kappale ei liikahda edes liukkaalla pinnalla.
Kun tasoa kallistetaan, paino ja liukupinta ovat osittain samansuuntaisia.
Tutkitaan siis, kuinka suuri osuus painosta on siis kitkapinnan suuntainen.

Työvaiheet

  • Asetetaan kitkakappale kallistettavan tason päälle
  • Kallistetaan tasoa hitaasti kunnes kappale liikahtaa
  • Mitataan tarkasti kallistuskulma α, jotta tilanne voidaan jäljentää vihkoon.
  • Perustetaan koordinaatisto, jonka x-akseli on kaltevan tason suuntainen ja y sitä vastaan
  • Piirrä paino riittävän pitkänä nuolena, jotta mittaustarkkuus vihkon sivulla ei kärsi liikaa
  • Jaetaan voima x ja y -suuntaisiin vektorikomponentteihin ja mitataan niiden pituudet



Kuva: Kaltevalla tasolla olevan kappaleen paino on jaettu koordinaattiakselien suuntaisiin vektorikomponentteihinsa.

Ⓔ Mitataan viivottimella vektoreiden pituudet. Paino G, vektorin pituus 4,9 cm (7 ruutua, 7 mm per ruutu)
Tason suuntaisen vektorin Gx pituus on 2,5 cm. Kohtisuoran vektorin Gy pituus on 4,2 cm.

Nopea tarkistus pythagoraan avulla, onko kolmio todella suorakulmainen:
a2+b2=c2
(2,5 cm)2 + (4,2 cm)2 = (4,9 cm)2
23,89 cm2 ≈ 24,01 cm2 OK! Niin lähellä, kuin voidaan kohtuudella piirtää.

Kitkakertoimen kaava on nyt muotoa μ = Gx / Gy
Käytämme yhdenmuotoisuuden nojalla todellisten voimien tilalla piirtämiemme vektoreiden pituuksia seuraavasti:

Kitkakertoimen määrittäminen jarrutuskokeella

Jos tehdään kaikilla renkailla lukkojarrutus, voidaan arvioida liukukitkakerrointa.
Lukkiutumattomien jarrujen tapauksessa tulos saattaa olla lähempänä lepokitkakerrointa.
Epätarkkuus on kuitenkin hyvin suurta johtuen ilmanvastuksesta ja jarrutuksen hallinnasta.

  • Idea: Autotesteissä mitataan usein jarrutusmatka ja jarrutusaika 100 km/h nopeudesta.
  • 100 km/h on 100 : 3,6 m/s eli noin 27,78 m/s
  • Putoamiskiihtyvyys on 9,81 m/s2
  • Jos jarrutus vastaisi putoamiskiihtyvyyttä, pysähtyminen kestäisi noin 2,83 s.
  • Tällaisen jarrutuksen jarrutusmatka on suurin piirtein 40 m.
  • Silloin kitkakerroin on 1,0 ja näin aika tarkkaan onkin kumin ja asfaltin välillä.
  • Tähän suhteuttaen voidaan selvittää kitkakerroin, kun lähtötietoja on riittävästi.
  • Perustelu: putoamiskiihtyvyys määrää putoamisen lisäksi painon ja kitka johtuu painosta.

Työt

  1. Valitse haluamasi kitkapinnat ja niitä edustavat kitkakappale ja alusta
  2. Määritä kitkakerroin jousivaa'an avulla
  3. Määritä lepokitkakerroin kaltevan tason avulla
  4. Pohdi, millaisen koejärjestelyn tarvitset, että voisit määrittää liukukitkakertoimen niin, että kitkakappaleesi on liikkeessä.

Kitkakertoimien taulukkoarvoja

Alkuun