Perusteet

Muistathan: 1 m/s = 3,6 km/h

Nopeuden kaava ja sen ratkaisut:

Näistä pitäisi osata päätellä, että

• Nopeuden kaava vastaa nopeuden yksikköä
• Matkan pituus on
  • sitä suurempi, mitä enemmän nopeutta
  • sitä suurempi, mitä enemmän aikaa
• Matkaan kulunut aika on
  • sitä suurempi, mitä pitempi matka
  • sitä pienempi, mitä suurempi nopeus

Kiihtyvyyden kaava eri muodoissaan

Kiihtyvyys on aina nopeuden muutos jaettuna siihen kuluneella ajalla

• Vasemmalla on kaava lukion oppimateriaalista
• Keskimmäinen kaava on hyvä valinta, kun kiihtyvyyttä tulkitaan tietystä kohtaa liikkeen matka - nopeus kuvaajaa
• Erikoistapaus oikealla toimii, jos liike alkaa levosta ja kiihtyvyys on tasainen kunnes nopeus ja aika määritetään

Lukion kaavakokoelmasta löytyy kaava, jolla lasket kiihtyvän liikkeen paikan x

Liikkeen paikka x (liikkuvan esineen paikka) riippuu ajasta t
Muuttujaksi on valittu matkan s sijaan paikka x, jotta liike voidaan tarvittaessa sitoa koordinaatistoon.
Huomaat, että kaavassa on kolme termiä

• Ensimmäinen termi on kiihtyvän liikkeen lähtöpaikka
• Toinen termi sisältää lähtönopeuden vaikutuksen paikkaan
• Kolmas termi laskee kiihtyvyyden vaikutuksen paikkaan ajan kuluessa

Dynamiikan peruslaki

Newtonin toinen laki lausuu, että mikäli kappaleeseen vaikuttaa nollasta eroava kokonaisvoima, kappale on kiihtyvässä liikkeessä.

• Kiihtyvyys on sitä suurempi, mitä suurempi on kappaleeseen vaikuttava voima
• Kiihtyvyys on sitä pienempi, mitä suurempi on kappaleen massa

Tämä riippuvuus sisältyy dynamiikan peruslakina tunnettuun laskukaavaan: F = ma
Selvemmin edellinen pohdinta näkyy, kun kirjoitetaan kaava muodossa: a = F/m

Tämä lause on mekaniikan ydintä ja se on mukana aina, kun asioita liikkuu ja vuorovaikutukset eivät kumoa täysin toisiaan.
Dynamiikan peruslakia tarvitaan edellä nähdyn kiihtyvän liikkeen paikan johtamisessa. Siihen tarvitaan myös differentiaaliyhtälöitä, joiden esitietona on pari lukiokurssia. Kysykää, jos haluatte tietää lisää.

Putoamisliikkeelle voidaan vastaavasti kirjoittaa: G = ma,
mistä voidaan johtaa: a = G/m eli g = G/m,
kun putoamiskiihtyvyyttä merkitään a:n sijaan g:llä
Tästä saadaankin tunnistettua jo painon kaavana käytetty G = mg

Matkan ratkaiseminen kuvaajan avulla - graafinen integrointi

Otetaanpa esimerkki. Liikkeen nopeus on 10 m/s ja sitä jatkuu 20 s ajan.
Osaamme laskea matkan laskemalla s = vt = 10 m/s · 20 s = 200 m
Piirretäänpä kyseinen liike vielä aika-nopeus -kuvaajaan:

Kuva: Tasaisen liikkeen kuvaajan alle jäävä alue.

Havaitset, että tasaisen liikkeen nopeus on vakio eli viiva on suora.
Nyt kuvaan on kuitenkin lisätty väritetty alue nopeuden kuvaajan alle.
Asteikot huomioiden väritetyn alueen pinta-ala on 20  · 10 = 200.
Tulos on sama kuin matkan, kun akseleiden yksiköt otetaan mukaan.
Tämä menetelmä on graafinen integrointi.

Otetaan hieman vaativampi esimerkki.

• Liike alkaa levosta kiihtyen.
• 10 s kohdalla saavutetaan 12 m/s nopeus, jota ylläpidetään seuraavat 10 s.
• Lopuksi jarrutetaan 4 s aikana pysähdyksiin.
• Jos tietäisimme keskinopeuden, voisimme laskea matkan, koska tiedämme sen keston, 24 s.
• Voimme päätellä, että keskinopeus aikavälillä 0...10 s ja aikavälillä 20...24 s on puolet maksiminopeudesta.
• Näin ollen matka voidaan laskea osissa: 6 m/s · 10 s + 12 m/s · 10 s + 6 m/s · 4 s = 204 m

Kuva: Muuttuvan liikkeen kuvaajan alle jäävä alue.

Kokeillaan samaa graafisen integroinnin keinoin. Lasketaan pinta-alat, kolmiot ja suorakulmio.

• 10 · 12 : 2 = 60
• 10 · 12 = 120
• 4 ·  6 = 24
• 60 + 120 + 24 = 204

Työmäärä on vastaava. Katsotaanpa vielä yksi tilanne. Kiihdytetään mopolla täyteen nopeuteen.
Kuvaajasta nähdään, että kiihtyvyys heikkenee nopeuden kasvaessa samalla,
kun liikettä vastustavat voimat alkavat saavuttaa liikettä aikaansaavia voimia.
Voimme kysyä, kuinka pitkän matkan kiihdytys vaatii, mutta emme osaa laskea sitä.

Kuva: Epäsäännöllisesti muuttuvan liikkeen kuvaajan alle jäävä alue.

Jos kiihdytyskokeessa ei ole mitattu matkaa, on melkein pakko tutkia kuvaajan alle jäävää pinta-alaa.
Nyt siis lasketaan ruudut. Jokainen kokonainen ruutu on 2 s · 2 m/s = 4 m
Vajaat ruudut voi laskea puolikkaina:

Kuva: Graafinen integrointi ruutuja laskemalla.

Vastaus:
Pinta-alaksi saadaan lopulta ruutuina 57 + 19 : 2 = 66,5
Kiihdytykseen vaadittava matka on lopulta noin 66,5 ·  4 m = 266 m ≈ 260 m
Tulosta voi tarkentaa, jos kuvaajan esittää tiheämmällä ruudukolla

Eri suuntaisten nopeuksien yhdistäminen

Joskus tämä on helppoa. Jos olet junassa, joka kulkee 200 km/h ja kävelet kohti junan nokkaa 5 km/h, on maanopeutesi peräti 205 km/h.
Jos nopeudet ovat eri suuntaisia, tarvitaan avuksi geometriaa.
Otetaan esimerkiksi joki, jonka yli soudetaan veneellä:

Kuva: Vene ylittää jokea kohtisuoraan soutaen mutta virta vie samalla venettä omaan kulkusuuntaansa. Nopeusvektorit pitää yhdistää.

Jos kuvan joki on 120 metriä leveä, voidaan kysyä,
a) kuinka kauas ystävän pitää kävellä ottaakseen vene vastaan
b) mikä on veneen "todellinen nopeus" tai nopeus suhteessa maalle kiinnitettyyn koordinaatistoon

Kuva: Ratkaisun avaimet

a) yhdenmuotoisuuden nojalla v_x : v_y = x : y
Missä veneen ja joen nopeuksien suhde on yhtä kuin joen poikki- ja pituussuuntaisten matkojen suhde
Sijoitetaan tunnetut: 2,5 : 2,0 = x : 120
Ratkaistaan x = 150 m

b) nopeus v ratkaistaan pyhthagoraan lauseen avulla a² + b² = c²
Nyt v_x² + v_y² = v² eli 2,5² + 2,0² = v²
Joten nopeudeksi saadaan ratkaistua v = 3,20156... m/s ≈ 3,2 m/s

Vastaus: Vene kulkee noin 3,2 m/s maanopeutta ja sen vastaanottaja joutuu kävelemään n. 150 m myötävirtaan vetääkseen veneen rannalle.

Alkuun