Yhtälöparit

Yhtälöparin ratkaiseminen

Yhtälöparin ratkaisussa pyritään tavalla tai toisella hävittämään toinen muuttuja, jolloin toinen muuttuja voidaan ratkaista. Yhtälöparin ratkaisemiseen laskemalla on kaksi tapaa. Käytettävä tapa valitaan tietty ratkaistavien yhtälöiden perusteella, mutta myös sen mukaan kumpaa tykkää mieluummin käyttää. Lisäksi yhtälöpari voidaan ratkaista graafisesti.

Samalla ratkaisumenetelmällä voi ratkaista suurempiakin yhtälörykelmiä. Pitää vaan muistaa, että yhtälöitä on oltava vähintään yhtä monta kuin muuttujiakin.

Yhteenlaskumenetelmä

Esimerkki 1: Ratkaise yhtälöpari
[[$ \begin{split} \begin{cases}x-y+3&=0\\3x+2y-1&=0\end{cases}\end{split}​ $]]
​

​[[$ \begin{split} \begin{cases}x-y+3&=0 ~~|\cdot2\\ 3x+2y-1&=0 \end{cases} \end{split} $]]​

[[$ \begin{split} \begin{cases}2x-2y+6&=0 \\3x+2y-1&=0\end{cases} \end{split} ​$]]

[[$ \begin{split} 5x+5&=0\\x&=-1 \end{split} ​$]]
  1. Kerrotaan ensimmäinen yhtälö luvulla 2, joilloin toisen muuttujan kertoimiksi saadaan vastaluvut
  2. Lasketaan yhtälöt yhteen, jolloin toinen muuttuja katoaa ja jää jäljelle yhden muuttujan yhtälö.
  3. Ratkaistaan muuttuja.

[[$ \begin{split} x-y+3&=0\\-1-y+3&=0\\y&=2\end{split} ​$]]

[[$ \begin{split} \begin{cases}x&=-1\\ y&=2 \end{cases} \end{split} $]]
  1. Sijoitetaan ratkaistu muuttuja jompaan kumpaan alkuperäisistä yhtälöistä ja ratkaistaan toinenkin muuttuja.


Sijoitusmenetelmä

Esimerkki 2: Ratkaise yhtälöpari
[[$ \begin{split} \begin{cases}x-y+3&=0\\3x+2y-1&=0\end{cases}\end{split}​ $]]
​

​[[$ \begin{split} x-y+3&=0\\y&=x+3 \end{split} $]]​

[[$ \begin{split} 3x+2(x+3)-1\\ 3x+2x+6-1=0\\ 5x=-5 \\x=-1 \end{split} ​$]]
  1. Ratkaistaan ensimmäisestä yhtälöstä y. (voit valita ihan kumman vaan, mutta tässä nyt y)
  2. Sijoitetaan tulos toiseen yhtälöön.
  3. Ratkaistaan muuttuja.

[[$ \begin{split} x-y+3&=0\\-1-y+3&=0\\y&=2\end{split} ​$]]

[[$ \begin{split} \begin{cases}x&=-1\\ y&=2 \end{cases} \end{split} $]]
  1. Sijoitetaan ratkaistu muuttuja jompaan kumpaan alkuperäisistä yhtälöistä ja ratkaistaan toinenkin muuttuja.


Graafinen ratkaisu

Graafisessa ratkaisussa yhtälöparin yhtälöt piirretään kuvaajaan ja etsitään suorien leikkauspiste. Mikäli suorat eivät leikkaa, ei ratkaisua ole.

Esimerkki 3: Ratkaise yhtälöpari
[[$ \begin{split} \begin{cases}x-y+3&=0\\3x+2y-1&=0\end{cases}\end{split}​ $]]