Ensimmäisen asteen yhtälön ratkaisua on kerrattu Matemaattisten taitojen osiossa. Tässä keskitytään toisen asteen yhtälön ratkaisemiseen, vaikkakin tehtävissä voi olla kumpaa vain.

Normaalimuotoinen (täydellinen) toisen asteen yhtälö on muotoa:

​[[$ ax^2+bx+c=0 $]]​

Yhtälön vakiotekijät ovat: a, b ja c

[[$ ax^2 $]] termiä kutsutaan toisen asteen termiksi. [[$ bx $]]on taas ensimmäisen asteen termi ja [[$ c $]] on vakiotermi.​​​

Ratkaiseminen

Tällainen yhtälö ratkaistaan ratkaisukaavan avulla:

[[$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $]]

Ratkaisukaavaan sijoitetaan kirjaimien a, b ja c paikalle kertoimet ratkaistavasta yhtälöstä.

Esimerkki 1:​ Ratkaise yhtälö ​[[$ 2x^2+7x-330=0 $]]. Ratkaisu: Poimitaan yhtälöstä kertoimet a, b ja c ja sijoitetaan ne ratkaisukaavaan​. [[$ \begin{split} x&= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\ x&= \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-330)}}{2\cdot 2}\\ x&= \frac{-7 \pm \sqrt{2689}}{4}\\ \begin{cases} x_1 &= \frac{-7 + \sqrt{2689}}{4} \approx 11,2 \\ x_2 &= \frac{-7 - \sqrt{2689}}{4} \approx -14,7 \end{cases} \end{split} $]] Juuria, eli ratkaisuja on siis kaksi; x1 ja x2

Aina ratkaisuja ei löydy kahta, tai ei välttämättä yhtään. Näistä tapauksista alla pari esimerkkiä.

Esimerkki 2:​ Ratkaise yhtälö ​[[$ 15x^2+24x=-10 $]]. Ratkaisu: Muotoillaan yhtälö toisen asteen perusmallin mukaiseksi, eli siirretään vakiotermi yhtälön vasemmalle puolelle. ​[[$ 15x^2+24x+10= $]] Poimitaan yhtälöstä kertoimet a, b ja c ja sijoitetaan ne ratkaisukaavaan​. [[$ \begin{split} x&= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\ x&= \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4 \cdot 15 \cdot 10}}{2\cdot 15}\\ x&= \frac{-24 \pm \sqrt{-24}}{30} \end{split} $]] Koska diskriminantti, eli neliöjuuren alla oleva luku on negatiivinen, ei yhtälöllä ole ratkaisua. [Koska negatiivisesta luvusta ei voi laskea neliöjuurta]

Esimerkki 3:​ Ratkaise yhtälö ​[[$ x^2-2x+1=0 $]]. Ratkaisu: Poimitaan yhtälöstä kertoimet a, b ja c ja sijoitetaan ne ratkaisukaavaan​. [[$ \begin{split} x&= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\ x&= \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot 1}\\ x&= \frac{2 \pm \sqrt{0}}{2} \\ x&=1\end{split} $]] Koska diskriminantti on nolla, on yhtälöllä vain yksi ratkaisu.

Vaillinainen toisen asteen yhtälö

Jos toisen asteen yhtälöstä puuttuu ensimmäisen asteen termi tai vakiotermi, on kyse vaillinaisesta toisen asteen yhtälöstä. Tällöin kannattaa yhtälön ratkaisemiseen käyttää jotakin allaolevista tavoista.

Esimerkki 4:​ Ratkaise yhtälö ​[[$ x^2+23x=0 $]]. Ratkaisu: Yhtälöstä puuttuu vakiotermi. Tällainen yhtälö kannattaa ratkaista tulon nollasäännön avulla:
[[$ \begin{split} x^2+23x&=0\\ x(x+23)&=0\\ \end{split}\\ \begin{cases}x=0\\x+23=0 \end{cases}\\ \begin{cases}x_1=0\\x_2=-23 \end{cases} $]]	Muodostetaan yhtälöstä tulo, eli kertolasku Tulon nollasäännön mukaan jompi kumpi tulon tekijöistä on oltava 0, jos yhtälö on 0. Voidaan siis ratkaista x helposti kahdesta ensimmäisen asteen yhtälöstä.

Esimerkki 5:​ Ratkaise yhtälö ​[[$ 4x^2-64=0 $]]. Ratkaisu: Yhtälöstä puuttuu ensimmäisen asteen termi. Tällainen yhtälö ratkaistaan simppelisti ensimmäisen asteen yhtälön ratkaisurutiineilla:

[[$ \begin{split} 4x^2-64&=0\\ 4x^2&=64\quad||:4\\ x^2&=16\quad||:\sqrt{} \\ \begin{cases}x_1=+8\\x_2=-8 \end{cases} \end{split} $]]