2.1 Toistokoe

Binomitodennäköisyys


0 ≤ k ≤ n

n on kaikkientapausten lukumäärä
k haluttujen tapausten lukumäärä 
p on halutun tapahtuman todennäköisyys 
(1-p) on vastatapahtuman todennäköisyys


Abittiin kirjoitat \binom{5}{2}  seuraavan näppäimen avulla. kokeile.

Esimerkki 1.

Koripalloilija onnistuu yksittäisessä vapaaheitossa 70%:n todennäköisyydellä. Millä todennäköisyydellä kolmesta heitosta täsmälleen kaksi onnistuu.

Ratkaisu:

Heitolla on kaksi mahdollista vaihtoehtoa, se joko onnistuu tai ei onnistu.

O=onnistuu P(O)=0,70
E= ei onnistu  P(E)=1-0,70=0,30

Taulukoi kaikki erilaiset järjestykset onnistua:

1. heitto 2. heitto 3. heitto  
O O E 0,7*0,7*0,3=0,147
O E O 0,7*0,3*0,7=0,147
E O O 0,3*0,7*0,7=0,147

Erilaisia järjestyksiä on kolme, jokaisen järjestyksen todennäköisyys on sama. [[$0{,}7\cdot0{,}7\cdot0{,}3+0{,}7\cdot0{,}3\cdot0{,}7+0{,}7\cdot0{,}3\cdot0{,}7=3\cdot0{,}7^2\cdot0{,}3^1=\binom{3}{2}0{,}7^2\cdot0{,}3=0{,}441 $]]
Kolme (3) heittoa, ( [[$ \color{blue}{täsmälleen \ 2} $]]) onnistuu


\binom{3}{2}\cdot0{,}7^2\cdot0{,}3^1=0{,}441


Esim. 2

(B) Kukkalajikkeen siemenpussin kyljessä lukee, että 76% siemenistä itää.

Millä todennäköisyydellä neljä tai viisi siementä viidestä itää?


Ratkaisu:
Käytä binomitodennäköisyyttä 

n=5
p(itää)= 76%=0,76
p(ei idä)= 1- 0,76

tasan 4 siementä itää: k=4 \binom{5}{4}\cdot0{,}76^4\cdot\left(1-0{,}76\right)=0{,}400346112

tasan 5 siementä itää:  k=5 \binom{5}{5}\cdot0{,}76^5\cdot\left(1-0{,}76\right)^0=0{,}2535525376

P(4 siementä viidestä siemenestä itää tai viisi viidestä siemenestä itää)= Yhteenlaskusääntö
P(4 siementä viidestä siemenestä itää) + P(viisi viidestä siemenestä itää)= 

\binom{5}{4}\cdot0{,}76^4\cdot\left(1-0{,}76\right)+\binom{5}{5}\cdot0{,}76^5\cdot\left(1-0{,}76\right)^0=  

=0{,}400346112+0{,}2535525376=0{,}6538986496\approx0{,}654


V: Noin 65 %:n todennäköisyydellä

 




Esim. 3

(B) Eräässä kanamunien myyntierässä havaittiin, että 5% kotelossa olevista munista oli pilaantunut. Millä todennäköisyydellä satunnainen ostaja ottaa 6 kappaleen kananmunakotelon, jossa ainakin
kaksi munaa on pilaantunut?


Ratkaisu:
ainakin kaksi munaa on pilaantunut =  kaksi, kolme, neljä viisi tai kuusi munaa on pilaantunut

Munia on kotelossa 6 kpl
Vaihtoehdot pilaantuneiden määrästä on 
pilaantuneita    
0 ei suotuisa P(0 pilaantunutta)=\binom{6}{0}\cdot0{,}05^0\cdot\left(1-0{,}05\right)^6=0{,}735091890625
1 ei suotuisa \binom{6}{1}\cdot0{,}05^1\cdot\left(1-0{,}05\right)^5=0{,}23213428125
2 suotuisa  
3 suotuisa  
4 suotuisa  
5 suotuisa  
6 suotuisa  




P(0-6\ \ munaa\ on\ pilaantunut)\ =\ 1\ \ \
Tässä todennäköisyys, että 0,1,2,3,4,5 tai 6 munaa on pilaantunut. Tapahtuma on VARMA.


Ainakin kaksi munaa on pilaantunut tapahtuman komplementti on 0 tai yksi muna on pilaantunut.

Lasketaan ensin todennäköisyys 
P\left(\ 0\ munaa\ on\ pilaantunut\ tai\ yksi\ muna\ on\ pilaantunut\right)
=P\left(0\ munaa\ on\ pilaantunut\right)+P\left(yksi\ muna\ on\ pilaantunut\right)=

0,735091890625+0,23213428125 = 0,967226171875

Sen jälkeen vähennät tämän arvon yhdestä:

P\left(ainakin\ 2\ munaa\ on\ pilaantunutta\right)=1\ -\ P\left(0\ tai\ yksi\ muna\ on\ pilaantunut\right)

1-0,967226171875 = 0,032773828125 noin 3 %


V: Todennäköisyys, että ainakin kaksi munaa on pilaantunut on noin 3%