2.2. Binomijakauma ja Poisson jakauma

Esim. 1 sivu 44

Yhdellä pelikierroksella saatu voitto on sattuman määräämä eli satunnaismuuttuja.
Merkitään sitä kirjaimella [[$ {\color{blue} {X }} $]] . Satunnaismuuttujan [[$ {\color{blue} {X }} $]] mahdolliset arvot x saadaan , kun huomioidaan, että jokainen pelikierros maksaa 2 €. Lisätään arvot taulukkoon ja muodostetaan satunnaismuuttujan [[$ {\color{blue} {X }} $]] todennäköisyysjakauma.




Satunnaismuuttuja [[$ {\color{blue} {X }} $]] odotusarvo saadaan kertomalla kukin voitto todennäköisyydellään ja laskemalla tulot yhteen.
[[$ \mu=\Sigma px=0{,}30\cdot0+0{,}10\cdot2+0{,}01\cdot73+0{,}59\cdot\left(-2\right)=-0{,}25 $]]

Koska voiton odotusarvo on negatiivinen eli -0,25 euroa, ei pelaaminen ole pitkällä aikavälillä kannattavaa.

Binomijakauma

Binomijakauma

Kun tapahtumakertojen lukumäärä tiedetään




Johdanto tehtävä

p(sairas)=0,25
p(terve)=1-0,25=075

P\left(0\ sairasta\right)=\binom{5}{0}\cdot0{,}25^0\cdot\left(1-0{,}25\right)^5=0{,}2373046875
P\left(1\ sairasta\right)=\binom{5}{1}\cdot0{,}25^1\cdot\left(1-0{,}25\right)^4=0{,}3955078125
P(2 sairasta)=0,263671875

P(3 sairasta)=0,087890625
P(4 sairasta)=0,0146484375

ncr(5;4)*0,25^4*(1-0,25)^1= 0,0146484375
P(5 sairasta)=0,0009765625

odotusarvo = \mu=\Sigma px=0{,}23730...\cdot0+0{,}39550...\cdot1+0{,}264\cdot2+0{,}088\cdot3+0{,}015\cdot4+0{,}001\cdot5=1{,}253\approx1{,}25

Poissonjakauma


Tilanteissa toistojen lukumäärää ei tiedetä tai tapahtuma voi ainakin teoriassa toistua kuinka monta kertaa tahansa. Tapahtuman todennäköisyyttäkään yksittäisessä toistossa ei aina tunneta.


Poisson-jakauma

Kun tapahtumakertojen lukumäärää ei tiedetä, käytetään Poisson jakaumaa.

Jos toistojen lukumäärää ei tiedetä (tai tapahtuma voi toistua kuinka monta kertaa tahansa), mutta tiedetään odotusarvo, voidaan käyttää Poisson-jakaumaa.

Video sivulta 49.

Poisson kaava MAOL:ssa

Esim.4.



Ratkaisu:
Kaikkien asiakkaiden lukumäärää ei tiedetä, valitaan Poisson jakauma

\mu=6

a) k=3

e= 2,71828182845904

e on vakio!
P(täsmälleen 3 asiakasta valittaa)= \frac{6^3}{3!}e^{-6}=0{,}0892350783599\approx8{,}9\ \%

Laskettu SpeedCrunchilla:
(6^3)/3!*e^(-6)

= 0,0892350783599

V: \approx8{,}9\ \%

b)

P(alle 3 asiakasta valittaa)=P(täsmälleen nolla asiakasta valittaa)+P(täsmälleen yksi asiakas valittaa)+P(täsmälleen 2 asiakasta valittaa)
[Käytetty yhteenlaskusääntöä!] =0,00247...+ 0,0148...+0,0446...=0,061968804416658960\approx0{,}062=6{,}2\ \%


SpeedCrunchilla laskettuna:

(6^0)/0!*e^(-6)+(6^1)/1!*e^(-6)+(6^2)/2!*e^(-6)

= 0,06196880441665896058

0,00247875217666635842+0,01487251305999815054+0,04461753917999445161

= 0,06196880441665896057\approx0{,}062=6{,}2\%

V: 6,2 %

Geogebran todennäköisyyslaskurilla:

c)


V: noin 84,9 %