5. LÄMPÖ JA MEKAANINEN ENERGIA Perustehtävät (511–518)

511. Nesteen lämpeneminen

Sähkövatkaimen tehoksi ilmoitetaan 170 W. Vatkaimella sekoitetaan velliä, jota on 1,5 litraa ja jonka voidaan ajatella koostuvan kokonaan vedestä. Oletetaan, että 5,0 % vatkaimen tuottamasta energiasta siirtyy velliin. Kuinka paljon vellin lämpötila nousee 2,0 minuutin sekoituksen aikana?

Ratkaisu:

Tehon määritelmän nojalla voidaan laskea energia [[$W$]], jonka vatkain käyttää:

[[$ \quad\begin{align} P&= \dfrac {W}{t} \\ \, \\ W&= Pt \\ \end{align}$]]​

Velliin lämpönä siirtyvä energia on tästä 5% eli

[[$ \quad Q=0{,}05Pt $]]​

Oletetaan vellin koostuvan vedestä. Vellin vastaanottama lämpö muuttaa sen lämpötilaa seuraavasti:

[[$ \quad\begin{align}Q&=cm\Delta T\\ \, \\ \Delta T&=\dfrac{Q}{cm}=\dfrac{0{,}05Pt}{cm}\\ \, \\ &= \dfrac{0{,}05 \cdot 170\text { W}\cdot 120\text { s}}{4\,190\, \dfrac {\text{J}}{\text{kg }^\circ \text{C}} \cdot 1{,}5 \text{ kg}}\\ \, \\ &=0{,}16229 \dots^\circ \text{C} \approx 0{,}16\ ^\circ \text{C}\\ \end{align} $]]​

512. Vasara ja naula

Naula lämpenee, kun sitä hakataan vasaralla kiinni lautaan. Jonkin ajan kuluttua hakkaamisesta naulan lämpötila on laskenut taas ympäristön lämpötilan tasolle. Selitä prosessit energian muotojen ja niiden muuntumisen näkökulmasta.

 

Ratkaisu:

Naulaa hakattaessa vaikuttaa siihen vasaran ja naulan välinen kosketusvoima. Tämä voima tekee työtä, joka kasvattaa naulan sisäenergiaa. Sisäenergian kasvaessa naulan lämpötila nousee.

Hakkaamisen jälkeen naulan lämpötila on ympäristöä korkeampi. Naulasta siirtyy lämpöä ympäristöön johtumalla ja säteilemällä. Lämpöä siirtyy, kunnes naulan lämpötila on yhtä suuri ympäristön lämpötilan kanssa.

513. Hiihtäjä ja lumen sulaminen

Hiihtäjä liukuu hangella 85 metrin matkan. Suksien ja ladun välinen kitkavoima on suuruudeltaan 25 N. Kuinka monta grammaa lunta sulaa enimmillään suksien alla? Lumen oletetaan olevan sulamispisteessä.

Ratkaisu:

Suksien ja ladun välinen kitkavoima tekee työtä lumeen. Työ kasvattaa lumen sisäenergiaa, jolloin lunta sulaa.

[[$ \quad W=\Delta U $]]​

Koska lumi on sulamispisteessä, sisäenergian muutos menee kokonaisuudessaan lumen sulattamiseen: [[$\Delta U=sm$]]. Ratkaistaan yhtälöstä sulava massa:

[[$ \quad \begin{align}Fs_\text{F}&=sm \\ \, \\ m&=\dfrac{Fs_\text{F}}{s}=\dfrac{25 \text{ N}\cdot 85\text{ m}}{333\, 000\text{ J/kg}}\approx0{,}0064\text{ kg}=6{,}4\text{ g}\\ \end{align} $]]

Vastaus: lunta sulaa enimmillään 6,4 grammaa.

514. Joulen koe

Joulen kokeessa siipirattaaseen kytketty punnus putoaa hitaasti ja tasaisesti 0,80 metrin matkan. Pudotus tehdään 40 kertaa peräkkäin. Punnukseen kytketty siipiratas pyörittää vettä eristetyssä astiassa. Astiassa on 2,5 kg vettä, ja punnuksen massa on 11 kg.

  1. Laske punnuksen painon tekemä kokonaistyö.
  2. Kuinka paljon vesi lämpenee, jos kaiken tehdyn työn oletetaan kasvattavan veden sisäenergiaa?

 

Ratkaisu:

a. Työ on voiman ja matkan tulo. Työtä tekevä voima on paino, ja matka koostuu 40:stä pudotuksesta. Työksi saadaan

​[[$ \quad W=Fs=Gs=mgs=11\text{ kg}\cdot9{,}81\text{ m/s}^2\cdot40\cdot0{,}80\text{ m} = 3\,453{,}12\text{ J}\approx 3\,500\text{ J} $]]​

b. Työ kasvattaa veden sisäenergiaa niin, että veden lämpötila nousee. Työ on yhtä suuri kuin veteen sitoutunut lämpö:

​[[$ \quad\begin{align} W&=cm\Delta T \\ \, \\ \Delta T&=\dfrac{W}{cm}=\dfrac{3\,453{,}12\text{ J}}{4\, 190\,\dfrac{\text{J}}{\text{kg °C}}\cdot2{,}5\text{ kg}}\approx0{,}33\ ^\circ\text{C}\\ \end{align} $]]​

515. Kaasusylinterin lämmitys

Sylinterissä herkästi liikkuvan männän alla on kaasua 250 kPa:n vakiopaineessa. Männän pinta-ala on 0,015 m².

  1. Sylinteriä lämmitetään ulkoa päin, jolloin mäntä nousee 12 cm. Laske tilavuuden muutokseen liittyvän työn suuruus. Tehdäänkö kaasuun työtä vai tekeekö kaasu työtä ympäristöön?
  2. Onko kaasuun siirtynyt lämpö suurempi, pienempi vai yhtä suuri kuin a-kohdan työ? Perustele.

 

Ratkaisu:

a. Laajeneva kaasu tekee työtä ympäristöön. Työn suuruus on

[[$ \quad W=p\Delta V=pA \Delta h=250\, 000\text{ Pa}\cdot0{,}015\text{ m}^2\cdot0{,}12\text{ m}\approx450\text{ J} $]]​

b. Vakiopaineessa tapahtuvassa muutoksessa ideaalikaasun lämpötila on suoraan verrannollinen sen tilavuuteen. Kaasun lämpötila siis kasvaa kaasuun siirtyvän lämmön vuoksi. Samalla kaasusta siirtyy energiaa ympäristöön tehdyn työn verran. Termodynamiikan ensimmäisen pääsäännön mukaan

[[$ \quad \begin{align}\Delta U&=W+Q &\Leftrightarrow \\ Q&=\Delta U-W \\ \end{align}$]]

Sisäenergian muutos on positiivinen, työ negatiivinen ja lämpö positiivinen. Ensimmäisen pääsäännön perusteella voidaan päätellä lämmön olevan suurempi kuin tehdyn työn suuruus.

516. Kaasun tilanmuutokset

Suljetussa säiliössä oleva kaasu käy läpi kuvaajan mukaisen prosessin 1→2→3.

  1. Määritä tehdyn työn suuruus koko prosessissa. Tehdäänkö työtä kaasuun vai tekeekö kaasu työtä ympäristöön?
  2. Prosessissa 1→2 kaasun ja ympäristön välillä siirtyvän lämmön suuruus on 8 700 kJ ja prosessissa 2→3 6 400 kJ. Määritä kaasun sisäenergian muutos koko prosessissa.

 

Ratkaisu:

a. Prosessissa 1→2 kaasu kutistuu ja siihen tehdään työtä

[[$\quad W=p\Delta V=100\, 000\text{ Pa}\cdot\left(35\text{ m}^2-10\text{ m}^2\right)=-2\,500\,000\text{ MJ}\approx2{,}5\text{ MJ}$]]

Prosessissa 2→3 kaasun tilavuus ei muutu, joten tehty työ on nolla. Kaasuun tehdään yhteensä työtä 2,5 MJ.

b. Prosessi 1→2 on isobaarinen, jossa lämpötila ja tilavuus ovat suoraan verrannolliset. Tilavuus pienenee, joten myös lämpötila pienenee. Kaasusta siirtyy lämpöä ympäristöön. Prosessi 2→3 on isokoorinen, jossa lämpötila ja paine ovat suoraan verrannolliset. Paine kasvaa, joten myös lämpötila kasvaa. Kaasuun siirtyy lämpöä.

Kaasun sisäenergian muutos aiheutuu termodynamiikan ensimmäisen pääsäännön mukaan tehdystä työstä ja siirtyvästä lämmöstä. Lasketaan sisäenergian muutos etumerkit huomioiden.

[[$ \quad \begin{align}\Delta U&=Q+W=Q_{1\rightarrow2}+Q_{2\rightarrow3}+W_{1\rightarrow2}\\ &=-8\,700\text{ kJ}+6\,400\text{ kJ}+2\,500\text{ kJ}\approx200\text{ kJ}\\ \end{align} $]]​

517. Lämpövoimakone

Kohta purettava Hanasaari B -voimalaitos polttaa kivihiiltä ja tuottaa sähköä 220 MW teholla ja kaukolämpöä 420 MW teholla. Voimalan kokonaishyötysuhde on 86 %.

Tarkastellaan voimalaitoksen sähköntuotantoa lämpövoimakoneena. 

  1. Millä teholla kone ottaa energiaa lämpösäiliöstä?
  2. Entä millä teholla kone tekee työtä, ja mikä sen hyötysuhde on?
  3. Pohdi muita tilanteita, joissa lämpövoimakoneen kylmäsäiliöön menevää energiaa voidaan hyödyntää lämpönä.

 

Ratkaisu:

a. Kokonaishyötyteho on sähkö- ja lämpötehon summa eli 640 MW. Hyötysuhteen määritelmän nojalla voidaan laskea ottoteho:

[[$ \quad\begin{align}\eta&=\dfrac{P_{\text{hyöty}}}{P_{\text{koko}}}\\ \, \\ P_{\text{koko}}&=\dfrac{P_{\text{hyöty}}}{\eta}=\dfrac{640 \text{ MW}}{0{,}86}=744{,}18...\text{MW}\approx 740\text{ MW} \\ \end{align}$]]​

b. Sähköteho 220 MW on koneen tekemän työn teho. Sen perusteella voidaan laskea tehtyn työn hyötysuhde:

[[$ \quad\eta=\dfrac{P_{\text{hyöty}}}{P_{\text{koko}}}=\dfrac{220\text{ MW}}{744{,}18 \text{ MW}} \approx 0{,}30 $]]

c. Näin voidaan toimia missä tahansa tilanteessa, jossa myös lämpöä tarvitaan. Lämmön käyttökohteita ovat tilojen lämmitys sekä teollisuuden prosessit. Sähköntuotannossa ylijäämälämpö käytetään yleisesti ydinvoimaa lukuunottamatta kaukolämpönä. Teollisuuslaitoksissa on monia tilanteita, joissa ylijäämälämpöä voidaan hyödyntää toisaalla prosessissa, sillä esimerkiksi monet kemialliset reaktiot tai metallien työstö vaativat riittävän korkeita lämpötiloja.

518. Tuuletin viilentäjänä

Verkkovirtaan kytkettävä tuuletin voi helpottaa tukalaa oloa kuumassa tilassa. Miten tuulettimen toiminta poikkeaa ilmastointilaitteesta? Mihin tuulettimen viilentävä vaikutus perustuu?

 

Ratkaisu:

Ilmastointilaite siirtää lämpöä sisäilmasta ulkoilmaan laitteessa kiertävän kylmäaineen mukana. Tuulettimessa ei ole tällaista lämmönsiirtomekanismia, joten se ei jäähdytä suljetun huoneen sisäilmaa.

Tuulettimen ilmavirta tuntuu viileältä, koska se voimistaa nesteen (hien) höyrystymistä iholta. Tälle on edellytyksenä, ettei ilman suhteellinen kosteus ole 100%. Toisaalta tuulettimen aikaansaama ilmavirta kuljettaa lämpöä iholta pois, kun lämpöä ensin johtuu ihoa lähellä olevaan ilmakerrokseen, joka sitten korvautuu viileämmällä tuulettimen aikaansaaman ilmavirran takia. Tälle on edellytyksenä, että ilman lämpötila on ruumiinlämpöä alhaisempi. Lisäksi tuuletin voi tehostaa ilman vaihtumista avoimen tilan ja ympäristön välillä, jos se asetetaan esimerkiksi puhaltamaan ikkunasta ulos. Tällä on viilentävä vaikutus, jos ulkona on viileämpää kuin sisällä.