Radioaktiivinen ydin muuttuu hajotessaan toiseksi ytimeksi. Aktiivisten ydinten määrä siis vähenee ajan kuluessa. Radioaktiivisen näytteen aktiivisuus on määritelmänsä [[$ A=\lambda N $]]​ mukaan suoraan verrannollinen aktiivisten ydinten lukumäärään. Siksi myös aktiivisuus vähenee ydinten hajotessa. Alla olevalla videolla esitetään säteilymittaus näytteelle, jonka aktiivisuus pienenee minuuttien aikana merkittävästi alkuperäiseen aktiivisuuteen nähden. Säteilymittari havaitsee tietyn suhteellisen osuuden lähteen synnyttämästä säteilystä, eli mitattava suure on suhteellinen aktiivisuus (Bq) ajan suhteen.

​

Videolla säteilyn määrä vähenee lähelle nollaa kymmenessä minuutissa. Säteilyarvoissa on satunnaista vaihtelua, mutta valistuneena arvauksena aikariippuvuudelle voidaan esittää eksponentiaalinen malli. Tämä on myös teoriassa oikea malli, mikä voidaan osoittaa seuraavasti. Yhden becquerelin aktiivisuus tarkoittaa, että aktiivisten ydinten määrä vähenee yhdellä yhtä sekuntia kohden. Aktiivisuus ilmaisee yleisemmin ydinten määrän muutosnopeuden. Määrän väheneminen tarkoittaa negatiivista muutosta.

[[$ \qquad -A=\dfrac{\Delta N}{\Delta t} $]]

Ydinten määrä ajan funktiona merkitään [[$ N(t) $]]​. Aktiivisuus on tällöin [[$ \lambda N(t) $]], ja muutosnopeus on ydinten lukumäärän derivaatta. Edellinen yhtälö voidaan siis muotoilla uudelleen.

[[$ \qquad N'(t)=-\lambda N(t)$]]

Yhtälö, jossa esiintyy funktio ja sen derivaatta, on niin sanottu differentiaaliyhtälö. Differentiaaliyhtälöitä ei käsitellä lukiomatematiikassa, mutta tämän yhtälön ratkaisu voidaan päätellä. Yhtälön toteuttavat funktiot, jotka ovat muotoa [[$ N(t) = ke^{-\lambda t} $]]​, jossa [[$k$]] on vakio. Tämä voidaan todeta yhdistetyn funktion ja eksponenttifunktion derivointisääntöjen perusteella.

[[$ \qquad D N(t) =D ke^{-\lambda t}=-k\lambda e^{-\lambda t}=-\lambda N(t) $]]

Funktion vakiotermin [[$k$]] merkitys voidaan päätellä laskemalla funktion arvo ajanhetkellä 0 s.

[[$ \qquad N(0 \text{ s})=ke^{-\lambda \cdot 0 \text{ s}}=k \cdot 1 =k $]]

Vakiotermi ilmaisee ydinten lukumäärän tarkastelun alkuhetkellä, jota merkitään [[$ N_0 $]]​. Näin on perusteltu radioaktiivisten ydinten lukumäärää ajanhetkellä [[$t$]] ilmaiseva hajoamislaki.

[[$ \qquad N(t) =N_0 e^{-\lambda t} $]]

Myös näytteen aktiivisuus vähenee eksponentiaalisesti ajan suhteen. Tämä on selvää, sillä jokaisella ajanhetkellä aktiivisuus on hajoamisvakion ja ydinten lukumäärän tulo.

[[$ \qquad A(t) =A_0 e^{-\lambda t} $]]