1. Kirjoita seuraavat laskut näkyviin vastauksineen matemaattisena kaavana

a) [[$13+7=$]]

b) [[$25-17=$]]

c) [[$3 \cdot 7=$]]

d) [[$3 + 2 \cdot 4=$]]

2. Kirjoita seuraavat lukujen väliset vertailut ja täydennä sopivalla numerolla.

a) [[$3 < $]]

b) [[$5 > $]]

c) [[$10 \leq$]]

d) [[$11 \neq $]]

e) [[$3,14156... \approx$]]

3. Kirjoita murtoluvut ja sievennä.

a) [[$\frac{8}{4}=$]]

b) [[$\frac{2+8}{5}=$]]

c) [[$\frac{2 \cdot 5}{2}=$]]

4. Kirjoita neliöjuuret, sievennä ja laske.

a) [[$\sqrt{9}=$]]

b) [[$\sqrt{100}=$]]

c) [[$\sqrt{20+5}=$]]

d) [[$\sqrt{6 \cdot 6}=$]]

5. Kopioi seuraavat komennot kaavaeditoriin ja katso mitä tapahtuu. Laita merkkirivin alkuun \ a)- ja c)-kohdissa. Mistä teoksesta lainaukset on otettu?

a)

begin{align}
\ln M = \Big[ &\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11}+ ... \Big] \nonumber \\
+ &\frac{1}{2} \cdot \Big[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{7}\right)^2 + \left(\frac{1}{11}\right)^2 +...\Big] \nonumber \\
+ &\frac{1}{3} \cdot \Big[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{3}\right)^3 + \left(\frac{1}{5}\right)^3 + \left(\frac{1}{7}\right)^3 + \left(\frac{1}{11}\right)^3 +...\Big] \nonumber \\
+ &\frac{1}{4} \cdot \Big[ \left(\frac{1}{2}\right)^4 + \left(\frac{1}{3}\right)^4 + \left(\frac{1}{5}\right)^4 + \left(\frac{1}{7}\right)^4 + \left(\frac{1}{11}\right)^4 +... \Big] \nonumber \\
+ &\frac{1}{5} \cdot \Big[ \left(\frac{1}{2}\right)^5 + \left(\frac{1}{3}\right)^5 + \left(\frac{1}{5}\right)^5 + \left(\frac{1}{7}\right)^5 + \left(\frac{1}{11}\right)^5 +... \Big] \nonumber \\
&\vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \nonumber
\end{align}

b)

\ln P\left(x\right) - S\left(x\right) < \frac{1}{2} \sum_{p \leq x} \frac{1}{p\left(p-1\right)}<\frac{1}{2} \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\left(n-1\right)}

c)


begin{align}&\left(a+1\right)^p-\left( a^p+1 \right)\nonumber \\
&= \left( a^p+pa^{p-1}+\frac{p(p-1)}{2 \cdot 1} a^{p-2}+\frac{p(p-1)(p-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1}a^{p-3}+\ldots + pa +1 \right)-\left( a^p+1\right) \nonumber \\
&=pa^{p-1}+\frac{p(p-1)}{2 \cdot 1} a^{p-2}+\frac{p(p-1)(p-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1}a^{p-3}+\ldots + pa \nonumber \\
&=p \left( a^{p-1}-\frac{p-1}{2 \cdot 1}a^{p2}+\frac{(p-1)(p-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1}a^{p-1}+ \ldots+a \right). \nonumber
\end{align}