​Pieni kertaus:

Kolmio:

on monikulmio, jossa kolme kolme sivua ja kolme kulmaa.

Tasasivuinen kolmio:

on monikulmio, jossa kaikki kolme sivua ovat yhtä pitkät ja kaikki kulmat yhtä suuria.

Tasakylkinen kolmio:

on monikulmio, jossa vähintään kaksi sivua ovat yhtä pitkät ja vähintään kaksi kulmaa ovat yhtä suuria.

Kolmion kulmien summa on aina 180 astetta.

​

(Lähde: https://www.youtube.com/embed/02VCZtpKaPc )

Yleistä asiaa kolmioista seuraavassa videossa 0:00 - 2:04.

​

(Lähde: https://www.youtube.com/embed/xiAPJge-vWo )

Nelikulmio on kuvio, jossa on neljä kulmaa ja neljä sivua.

Neliö nelikulmio, jonka kaikki neljä kulmaa ovat suorakulmia ja kaikki sivut yhtä pitkiä.

Suorakulmio tasakulmainen nelikulmio, mutta sen sivut voivat olla eri pituiset. Tasakulmaisuudesta johtuu, että vastakkaiset sivut ovat saman pituiset ja yhdensuuntaiset.

Suunnikas on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaiset.

Suunnikkaalla ovat myös vastakkaiset sivut yhtä pitkät ja vastakkaiset kulmat yhtä suuret.

Nelikulmion kulmien summa on aina 360 astetta.

Yleistä asiaa nelikulmioista seuraavassa videossa 0:00 - 4:05.

​

(Lähde: https://www.youtube.com/embed/oXWtUs9_so0 )

Piirin laskeminen.

Maanantain tunnilla kerroin, kuinka oma opettajani kertoi esimerkin piirin laskemisesta.

"Maanviljelijällä on pelto. Hänen pitäisi rakentaa peltonsa ympäri aita. Ennen aitatarvikkeiden ostamista tulisi tietää peltoalueen piiri (kuvitellaan tässä tapauksessa, että pelto on suorakulmion muotoinen). Meidän kuudesluokkalaiset osaisivat laskea piirin kartalta mittakaavan avulla, mutta maanviljelijän kouluajoista on jo aikaa. Niinpä hän keksi keinon: Maanviljelijä laittaa pellon jokaiseen neljään kulmaan tolpat ja vetää pitkän narun tolpasta tolppaan...kunnes saapuu lähtöpaikalleen (ensimmäiselle tolpalle). Nyt hän tietää kuinka pitkä naru on pellon piiri. Koska naru ei ole mittayksikkö, kun taas metri on.

Rautakauppiaan työpäivä muuttuu todellakin työn tekemiseksi, mikäli maanviljelijä vie hänelle narun ja myyjä joutuu mittaamaan sen pituuden. Kuitenkin maanviljelijällä on metrimitta ja hän mittaa narun itse.
Sitten vain mitta paperille ylös ja ostoksille."

Hienoja matemaattisia kaavoja ei tarvi tässä tilanteessa muistaa. Asian muistaa todella helposti:


"Kuinka niin kulmien määrä ei vaikuta piirin pituuteen?"
Koska:
Kolmiossa on 3 sivua => sivu + sivu + sivu = piiri
Nelikulmiossa on 4 sivua => sivu + sivu + sivu +sivu = piiri
Viisikulmiossa on 5 sivua => sivu + sivu + sivu + sivu + sivu = piiri

Enempää on turha jatkaa. Nyt on jo selvää monta sivunpituutta kuusikulmiossa lasketaan yhteen.

"Eikö voisi käyttää kertolaskua, koska esim. sivu + sivu + sivu = 3 x sivu?"

Ei tässä tapauksessa, koska sivujen pituudet voivat olla eri mittaisia. Siksi jokaisen sivun pituus lasketaan yhteen piirin saamiseksi.

HUOM!
Poikkeuksiahan on esim. neliö, jossa kaikki sivut ovat yhtä pitkiä. Tällöin kertolasku todellakin toimisi,
MUTTA selvitäksemme yhdellä muistisäännöllä pysymme yhteenlaskussa.

Suorakulmion pinta-alan laskeminen.

Koska suorakulmiossa vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkiä, on kuvion pinta-alan laskeminen äärettömän helppoa.


Asia on helppo todistaa ruutupaperitehtävävällä.


Laskemalla ruudut saadaan pinta-alaksi 25 ruutua. Jotta säästyisimme ruutujen yhteenlaskulta (niitä voi olla joskus yllättävän paljon), otamme avuksi kertolaskun.


Nelikulmion korkeus on 5 ruutua ja kanta 5 ruutua. Kertolaskulla 5 x 5 = 25 saamme ruutujen määrän, eli pinta-alan. Koska ruutu ei ole käytössä oleva mittayksikkö, oletamme seuraavassa kuvassa yhden ruudun sivun pituudeksi 1cm.


Nyt laskulla 5cm x 5cm saadaan pinta-alaksi:


Lyhyt apuvideo avuksi:

​​

(Lähde: https://www.youtube.com/embed/1vclRlIz4JQ )

Suunnikkaan pinta-alan laskeminen.

Äkkiseltään saattaa tuntua oudolta, että suunnikkaan pinta-ala lasketaan samalla kaavalla, kuin suorakulmion pinta-ala.

Tämä on tosin helppoakin helpompi juttu, kuten seuraavassa näemme:

Tämän suorakulmion muotoisen paperin pinta-alan osaamme laskea helposti.

Pirrämme siihen yhden viivan...

Leikkaamme piirtämäämme viivaa pitkin paperista palan irti...

...ja siirrämme palan toiseen päähän paperia. Tällöin syntyy:
Suunnikas. Paperilla on edelleen sama pinta-ala, kuin ennen leikkaamista, vaikka kuvion muoto muuttuikin. Asia on helppo todistaa siirtämällä pala takaisin alkuperäiselle paikalleen.
Meillä on edessämme sama suorakulmio, josta aloitimme.

Kolmikulmioiden pinta-alan laskeminen.

Outoa, outoa..? Tämänkin laskemisen yhteydessä kohtaamme suorakulmion pinta-alan laskemisen kaavan, mutta puolitettuna:



Mitenkä tämä on mahdollista? Asia selviää seuraavasta kuvasta:
1. Kolmio, jossa lukeekin jo ongelma.

2. Äskeinen kolmio, johon on piirretty viiva yhdestä kulmasta kantaan, niin että viiva on suorassa kulmassa kannan kanssa. Tässä vaiheessa on avuksi otettu täsmälleen samanlainen, mutta erivärinen (sininen) kolmio, joka on leikattu äsken piirrettyä viivaa pitkin.

3. Kun sinisen kolmion osat asettelee kuvan osittamalla tavalla, huomaamme niiden muodostavan valkoisen kolmion kanssa suorakulmion. Valkoinen ja sininen kolmiohan ovat yhtä suuret pinta-aloiltaan, koska ne ovat idettiset (kuten aikaisemmin totesimme). Jos nyt laskemme suorakulmion pinta-alan ja otamme siitä pois siniset osat, jäljelle jää vain valkoinen osa suorakulmiosta = puolet äskeisestä sini-valkoisesta suorakulmiosta. Näin kuvaa edeltävä laskukaava pitää paikkaansa.

Tämän osion lopuksi vielä kotitehtävä, jonka ratkaisu (yksi mahdollisista) oli helppo, jos piirsi ensimmäisen kuvan ja.... no, katsotaanpa:

Tehtävä:

Piirrä vihkoosi:
a) Neliö, jonka pinta-ala on 36 ruutua.
b) Suunnikas, joka ei ole neliö, mutta sen pinta-ala on myös 36 ruutua.
c) Suorakulmainen kolmio, jonka pinta-ala on 18 ruutua.

Open ratkaisu on seuraavanlainen: